[論文レビュー] Zeros of random polynomials and its higher derivatives

Sung‐Soo Byun, Jaehun Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、確率的多項式の高階導関数の零点の極限経験的測度が、元の多項式の零点と同じ分布に収束することを確立しており、既知の臨界点（1階微分）に関する結果を高階導関数へと拡張している。著者らは対数的ポテンシャル論と大偏差技法を用いて、i.i.d. 零点、ランダムに削除または追加された零点、2次元クーロンガス系集合を含む多様な確率的多項式モデルを分析し、広範な条件下でこの現象の普遍性を証明している。

ABSTRACT

In this article we study the limiting empirical measure of zeros of higher derivatives for sequences of random polynomials. We show that these measures agree with the limiting empirical measure of zeros of corresponding random polynomials. Various models of random polynomials are considered by introducing randomness through multiplying a factor with a random zero or removing a zero at random for a given sequence of deterministic polynomials. We also obtain similar results for random polynomials whose zeros are given by i.i.d. random variables. As an application, we show that these phenomenon appear for random polynomials whose zeros are given by the 2D Coulomb gas density.

研究の動機と目的

• 確率的多項式の高階導関数の零点と臨界点の間で知られている測度の等価性を、より高階の導関数へと拡張すること。
• この測度収束が、ランダムに削除または追加された零点を含む、より広いクラスの確率的多項式に対して成り立つかを調査すること。
• 一般外部ポテンシャルを有する2次元クーロンガス系集合に対して、この性質の普遍性を確立すること。
• [19]で提起された非原子的極限測度に関する予想を、ランダムに除外された零点の下で証明することで解消すること。
• 確率的多項式集合における零点と臨界点の統計的ペアリングを理解する理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 高階導関数の零点の極限分布を分析するために、対数的ポテンシャル論と均衡測度を用いる。
• クーロンガス系集合のための大偏差原理を適用し、零点の希少配置の確率を制御する。
• 確率空間を典型集合と例外集合に分解し、例外集合の測度が指数的に小さくなるようにする。
• 高階導関数の零点近傍での挙動を調べるために、量 $ L_n^k(z) = \frac{1}{k!} \frac{P_n^{(k)}(z)}{P_n(z)} $ を導入する。
• 対数的ポテンシャルと測度の比較を用いて、高階導関数の経験的測度が極限測度に確率的に収束することを示す。
• 極限均衡測度の存在性と正則性を保証するため、外部ポテンシャルのタイトネスおよび可積分性条件を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的多項式の $k$ 階微分の零点の極限経験的測度は、元の多項式の零点と同じ測度に収束するか？
• RQ2 一般の確率的多項式モデルに対して、零点と臨界点の間の測度の等価性が高階導関数へと拡張可能か？
• RQ3 [19]で提起された予想、すなわち零点のランダム除外が測度収束を保つのは、非原子的極限測度に対して成り立つか？
• RQ4 一般外部ポテンシャルを有する2次元クーロンガス系集合に対しても、測度の等価性は保たれるか？
• RQ5 スケール $O(1/n)$ において、零点と臨界点の自然なペアリングを確立できるか。また、一致距離の漸近的挙動はいかなるものか？

主な発見

• 任意の $k \in \mathbb{N}$ に対して、確率的多項式の $k$ 階微分の零点の極限経験的測度は、元の多項式の零点と同じ極限測度に弱収束する。
• 1エネルギーが有限であるi.i.d. 零点を有する確率的多項式に対して、$k$ 階微分の零点分布は、元の多項式と同じ極限測度に収束する。
• 元の列から1つの零点をランダムに削除して得られる多項式に対しても、極限測度が非原子的であれば、この現象は成り立つ。これは[19]の予想を裏付ける。
• $k$ 個のランダムに追加された零点を有する多項式に対しても、この結果が拡張され、高階導関数の極限測度は元のものと変わらない。
• 一般外部ポテンシャル $Q$ を有する2次元クーロンガス系集合に対して、$k$ 階微分の零点の経験的測度はほとんど確実に均衡測度 $\sigma_Q$ に収束する。
• $|L_n^k(z)| < e^{-n\varepsilon}$ となる確率は $n \to \infty$ のとき消える。これは、典型的な状態では高階導関数が零点付近で消失しないことを示している。