[論文レビュー] Zeta functions and topological entropy of the Markov-Dyck shifts

Wolfgang Krieger, Kengo Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 24被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、ケラーの円形コード枠組みを用いて、マコフ・ダイク・シフトのゼータ関数の明示的公式を導出し、母関数と三次方程式の代数的解法を用いてそのトポロジカルエントロピーを計算する。隣接行列 $ F(a,b,c) = \begin{bmatrix} a & b \ c & 0 \end{bmatrix} $ で定義されるマコフ・ダイク・シフトについて、トポロジカルエントロピーが三次多項式 $ P_{a,b,c}(z) = 0 $ の最小正の根の負の対数に等しいことが示されている。特殊な場合、たとえば $ c = a + b $ のときには、$ h(D_{F(a,b,a+b)}) = -\log(1 + a + b) $ という閉形式の解が得られる。

ABSTRACT

The Markov-Dyck shifts arise from finite directed graphs. An expression for the zeta function of a Markov-Dyck shift is given. The derivation of this expression is based on a formula in Keller (G. Keller, {\it Circular codes, loop counting, and zeta-functions}, J. Combinatorial Theory {\bf 56} (1991), pp. 75--83). For a class of examples that includes the Fibonacci-Dyck shift the zeta functions and topological entropy ae determined.

研究の動機と目的

• ケラーの円形マルコフコード用のゼータ関数の公式を用いて、マコフ・ダイク・シフトのゼータ関数の閉形式表現を導出すること。
• 有限有向グラフから生じるマコフ・ダイク・シフトのトポロジカルエントロピーを計算すること、特に隣接行列 $ F(a,b,c) $ に対して焦点を当てる。
• エントロピーと三次多項式 $ P_{a,b,c}(z) $ の根との関係を確立し、正確または近似計算を可能にする。
• 特殊な場合、たとえば $ c = a + b $ のとき、エントロピーが $ -\log(1 + a + b) $ に簡略化されることを示す明示的公式を提供すること。
• グラフ論的および代数的手法を用いて、ダイクおよびモッツキン・シフトの結果を、より広いクラスのマコフ・ダイク・シフトへ一般化すること。

提案手法

• マコフ・ダイク・シフトにおける許容語の言語にケラーの円形マルコフコード用ゼータ関数の公式を適用する。
• グラフの逆半群構造における経路数をモデル化するために、母関数 $ g_{\mathcal{C}_1}(z) $、$ g_{\mathcal{C}_2}(z) $ 及びそれらのスターバージョンを用いる。
• 再帰的経路数え上げにより、特定の頂点で終わる経路の母関数 $ g_{\mathcal{C}_2}(z) $ を記述する三次方程式 (4.18) を導出する。
• 定理 2.3 と代数的恒等式を用いて、$ g_{\mathcal{C}_2}(z) $ の有理関数としてゼータ関数 $ \zeta_{D_{F(a,b,c)}}(z) $ を表現する。
• トポロジカルエントロピーは $ h = -\log z_{\min} $ により、$ P_{a,b,c}(z) $ の最小正の根によって決定されることを導入する。
• 特殊な場合に三次方程式 $ P_{a,b,c}(z) = 0 $ をタルタリアおよびビエートの公式を用いて解き、閉形式のエントロピー表現を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限有向グラフから導かれるマコフ・ダイク・シフトのゼータ関数の明示的形は何か？
• RQ2 マコフ・ダイク・シフトのトポロジカルエントロピーは、そのグラフ構造から代数的にどのように計算できるか？
• RQ3 経路言語の母関数とシフトのゼータ関数との間にはどのような関係があるか？
• RQ4 どのような条件下で $ D_{F(a,b,c)} $ のトポロジカルエントロピーが $ -\log(1 + a + b) $ に簡略化されるか？
• RQ5 マコフ・ダイク・シフト $ D_{F(a,b,c)} $ のエントロピーは、三次多項式 $ P_{a,b,c}(z) $ の根を求める方法で決定可能か？また、特殊な場合の代数的解は何か？

主な発見

• マコフ・ダイク・シフト $ D_{F(a,b,c)} $ のゼータ関数は、母関数とケラーの公式を用いて導出された $ \zeta_{D_{F(a,b,c)}}(z) = \frac{c g_{\mathcal{C}_2}(z) (1 - g_{\mathcal{C}_2}(z))}{(a g_{\mathcal{C}_2}(z)^2 - (a + c(1+b)z) g_{\mathcal{C}_2}(z) + c z)^2} $ で与えられる。
• トポロジカルエントロピー $ h(D_{F(a,b,c)}) $ は、三次多項式 $ P_{a,b,c}(z) = 0 $ の最小正の実根の負の対数に等しい。
• $ c = a + b $ の場合、エントロピーは $ h(D_{F(a,b,a+b)}) = -\log(1 + a + b) $ に簡略化され、$ z = \frac{1}{1+a+b} $ が唯一の正の根である。
• $ c = a $ の場合、エントロピーは $ h(D_{F(a,1,a)}) = \log(a+1) - \log(a+2) + \log(a+3) $ に等しく、$ P_{a,1,a}(z) $ の二次因子を解くことで得られる。
• $ a(b - c) - c(1 + b)^2 = 0 $ のとき、エントロピーの計算は二次方程式に帰着され、正確な代数的評価が可能になる。
• 母関数 $ g_{\mathcal{C}_2}(z) $ は、カルダーノの公式を用いて三角関数および平方根関数で表現され、三次方程式 (4.18) のパラメトリック解が得られる。