[論文レビュー] Zhu's algebra, C_2-algebra and C_2-cofiniteness of parafermion vertex operator algebras

Tomoyuki Arakawa, Ching Hung Lam+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、任意の有限次元単純リー代数 $\mathfrak{g}$ および正の整数レベル $k$ に対して、パラフェルミオン頂点 operator 代数 $K(\mathfrak{g},k)$ の $C_2$-cofiniteness を示す。まず $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_2$ の場合に、Zhuの代数と $C_2$-代数を分析し、それらが半単純で次元 $k(k+1)/2$ であることを証明する。その後、これらの結果を用いて、部分代数の分解と $K(\mathfrak{sl}_2,k)$ の既知の cofiniteness を利用して、一般の $\mathfrak{g}$ への拡張を達成する。

ABSTRACT

We determine Zhu's algebra and C_2-algebra of parafermion vertex operator algebras for sl_2. Moreover, we prove the C_2-cofiniteness of parafermion vertex operator algebras for any finite dimensional simple Lie algebras.

研究の動機と目的

• レベル $k$ における $\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ に関連するパラフェルミオン VOA の Zhuの代数と $C_2$-代数を分析すること。
• パラフェルミオン VOA $\mathcal{W} = K(\mathfrak{sl}_2,k)$ に対して、Zhuの代数 $A(\mathcal{W})$ が半単純で次元 $k(k+1)/2$ であることを確立すること。
• $\mathcal{W}$ の既約モジュールを分類し、それ自身のモジュールとしての射影性を証明すること。
• $\mathfrak{sl}_2$ からの $C_2$-cofiniteness の結果を、すべての有限次元単純リー代数 $\mathfrak{g}$ に拡張すること。

提案手法

• 強い生成子 $W^2, W^3, W^4, W^5$ 及びそれらの交換関係を用いて、真空モジュール $V(k,0)$ 内のパラフェルミオン VOA $\mathcal{N}$ の構造を分析する。
• 重み8のノルム場 $\mathbf{v}^0$ と重み $k+1$ の特異ベクトル $\mathbf{u}^0$ を特定・分析し、$C_2$-代数内の関係を特定する。
• $C_2$-代数 $R_{\mathcal{N}}$ 上に導分を誘導するための演算子 $W^3_1$ を用い、$R_{V(k,0)}$ 内での $\mathbf{v}^0$ および $\mathbf{u}^0$ の像を明示的に計算する。
• 重みごとの関係の分析を通じて、$R_{\mathcal{N}} \hookrightarrow R_{V(k,0)}$ および $A(\mathcal{W}) \hookrightarrow A(L(k,0))$ の埋め込みを確立する。
• $K(\mathfrak{sl}_2,k)$ の $C_2$-cofiniteness と、$P_\alpha \cong K(\mathfrak{sl}_2,k_\alpha)$ に沿った部分代数の分解を用いて、一般の $\mathfrak{g}$ に対する $C_2$-cofiniteness を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラフェルミオン VOA $K(\mathfrak{sl}_2,k)$ の Zhuの代数と $C_2$-代数の構造は何か？
• RQ2 パラフェルミオン VOA $\mathcal{W} = K(\mathfrak{sl}_2,k)$ に対して、Zhuの代数 $A(\mathcal{W})$ は半単純で次元 $k(k+1)/2$ か？
• RQ3 重み $i,j$ に対して $0 \leq i \leq k$, $0 \leq j \leq i-1$ を満たすモジュール $M^{i,j}$ は、$\mathcal{W}$-モジュールの完全な既約同型類の集合をなすか？
• RQ4 すべての有限次元単純リー代数 $\mathfrak{g}$ および正の整数 $k$ に対して、パラフェルミオン VOA $K(\mathfrak{g},k)$ は $C_2$-cofinite か？

主な発見

• パラフェルミオン VOA $\mathcal{W} = K(\mathfrak{sl}_2,k)$ の $C_2$-代数 $R_{\mathcal{W}}$ の次元は $k(k+1)/2$ である。
• Zhuの代数 $A(\mathcal{W})$ は半単純であり、次元 $k(k+1)/2$ である。
• 重み $i,j$ に対して $0 \leq i \leq k$, $0 \leq j \leq i-1$ を満たすモジュール $M^{i,j}$ は、$\mathcal{W}$-モジュールの同型類の完全な集合をなす。
• 任意の有限次元単純リー代数 $\mathfrak{g}$ および任意の正の整数 $k$ に対して、パラフェルミオン VOA $K(\mathfrak{g},k)$ は $C_2$-cofinite である。
• $W^3_1$-像の分析を通じて、埋め込み $R_{\mathcal{N}} \hookrightarrow R_{V(k,0)}$ が確立された。
• $K(\mathfrak{g},k)$ の $C_2$-cofiniteness は、$K(\mathfrak{sl}_2,k)$ の $C_2$-cofiniteness と、部分代数 $P_\alpha \cong K(\mathfrak{sl}_2,k_\alpha)$ への分解から導かれる。