[論文レビュー] Zimmer's conjecture for actions of $\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$

Aaron Brown, David Fisher+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、次元 $\leq m-2$ の閉多様体上の $C^2$ 行動について、$\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ の有限索引部分群の Zimmer の予想を証明し、導出の均一な指数的成長を確立する。証明は、cocompact 場合の手法を拡張し、Lubotzky-Mozes-Raghunathan 分解、非発散性の未発散性、非一様格子の強い性質 (T) を用いて非一様格子における幾何的制御を導入し、最終的にこのような作用は有限像を持つべきであることを示す。

ABSTRACT

We prove Zimmer's conjecture for $C^2$ actions by finite-index subgroups of $\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ provided $m>3$. The method utilizes many ingredients from our earlier proof of the conjecture for actions by cocompact lattices in $\mathrm{SL}(m,\mathbb{R})$ but new ideas are needed to overcome the lack of compactness of the space $(G imes M)/Γ$ (admitting the induced $G$-action). Non-compactness allows both measures and Lyapunov exponents to escape to infinity under averaging and a number of algebraic, geometric, and dynamical tools are used control this escape. New ideas are provided by the work of Lubotzky, Mozes, and Raghunathan on the structure of nonuniform lattices and, in particular, of $\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ providing a geometric decomposition of the cusp into rank one directions, whose geometry is more easily controlled. The proof also makes use of a precise quantitative form of non-divergence of unipotent orbits by Kleinbock and Margulis, and an extension by de la Salle of strong property (T) to representations of nonuniform lattices.

研究の動機と目的

• 次元 $\leq m-2$ の多様体上の $\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ の有限索引部分群の $C^2$ 行動について、導出の均一な指数的成長を確立すること。
• 商空間 $G/\Gamma$ の非コンパクト性に起因する課題を克服し、cocompact 格子の証明戦略を非一様格子、特に $\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ に拡張すること。
• 強い性質 (T) を用いて連続的 $\Gamma$-不変 Riemann 距離を保証し、unipotent 要素のおかげで像が有限であることを示すこと。
• 非一様格子の主要な非一様ケースを解決し、非一様格子に対する Zimmer プログラムの完全な実現に向けた基盤的段階を提供すること。
• 未発散性の定量的性質と、くびれの幾何的分解を用いて、非コンパクト設定における Lyapunov 指数と測度の逸脱を制御すること。

提案手法

• 作用をコンパクトなファイバー束 $M^\alpha = (G \times M)/\Gamma$ 上の $G$-作用に持ち上げるためのファイバー束構成 $M^\alpha = (G \times M)/\Gamma$ を用い、動的および幾何的道具の使用を可能にする。
• $\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$-くびれのランク1方向への分解を用いて、非コンパクト領域の幾何を制御する。
• Kleinbock と Margulis が開発し、de la Salle が拡張した、unipotent 軌道の未発散性の定量的形を用いて、測度と Lyapunov 指数が無限遠に逸脱するのを防ぐ。
• 非一様格子の強い性質 (T)（de la Salle）を用いて、$M$ 上に連続的 $\Gamma$-不変 Riemann 距離が存在することを導出し、$\Gamma$ の像が有限であることを強制する。
• Zimmer のコサイクル超剛性とファイバー内 Lyapunov 指数解析を用いて、最大のファイバー内 Lyapunov 指数が非ゼロであると仮定した場合に、次元制約のもとで矛盾を導く。
• Følner 列と拡張する水平方向における平均化論法を用いて、導出の成長を制御し、均一な指数的成長の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $\leq m-2$ の多様体上の $\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ の $C^2$ 行動について、均一な指数的成長の導出を確立できるか？
• RQ2 非一様格子の $G/\Gamma$ の非コンパクト性をどのように制御すれば、動的システムにおける測度と Lyapunov 指数の逸脱を防げるか？
• RQ3 cocompact 格子の戦略（[BFH] より）を、$\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ のような非一様格子にどの程度適応できるか？
• RQ4 くびれのランク1方向への幾何的分解を、unipotent および対角的フローの解析を精緻化するために利用できるか？
• RQ5 非一様格子の強い性質 (T) は、$C^2$ 行動において連続的不変計量の存在を示唆するか？

主な発見

• 任意の $m \geq 4$ に対して、次元 $\leq m-2$ の閉多様体上の $\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ の有限索引部分群の $C^2$ 行動は、導出の均一な指数的成長を持つ。
• 次元 $\leq m-1$ の体積保存 $C^2$ 行動に対しても、同じく均一な指数的成長が成り立つ。
• de la Salle の非一様格子の強い性質 (T) を用い、収束過程における正の測度を用いて、連続的 $\Gamma$-不変 Riemann 距離の存在が導かれる。
• このような作用の像は有限である。なぜなら、$\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ の unipotent 要素は任意のコンパクト Lie 群において有限像を持つからである。
• 最大のファイバー内 Lyapunov 指数が非ゼロであると仮定した場合、次元制約と Zimmer のコサイクル超剛性のおかげで矛盾が導かれる。
• 弱-$*$ 収束における $M^\alpha$ 上の測度の極限が $\mathrm{SL}(m,\mathbb{R})$-不変であることが証明され、これはファイバー次元の上限に反する。