[논문 리뷰] A 3-categorical perspective on G-crossed braided categories

Corey Jones, David Penneys외 1명|ArXiv.org|2020. 09. 01.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 44인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 1--surjective G-pointed 3-카테고리와 G-crossed braided 카테고리 사이의 3-카테고리 동치를 수립하며, 고차 카테고리 이론과 양자장 이론의 시각을 통합한다. 스트릭트화를 통해 Gray-카테고리로 전환하고, 스트릭트한 G-pointed 3-카테고리와 스트릭트한 G-crossed braided 카테고리 사이의 2-동치를 구축함으로써, 이러한 3-카테고리들의 4-카테고리가 G-crossed braided 카테고리의 2-카테고리와 동치임을 증명한다. 이는 자명하지 않은 군으로의 델로핑 가설의 일반화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

A braided monoidal category may be considered a $3$-category with one object and one $1$-morphism. In this paper, we show that, more generally, $3$-categories with one object and $1$-morphisms given by elements of a group $G$ correspond to $G$-crossed braided categories, certain mathematical structures which have emerged as important invariants of low-dimensional quantum field theories. More precisely, we show that the 4-category of $3$-categories $\mathcal{C}$ equipped with a 3-functor $\mathrm{B}G o \mathcal{C}$ which is essentially surjective on objects and $1$-morphisms is equivalent to the $2$-category of $G$-crossed braided categories. This provides a uniform approach to various constructions of $G$-crossed braided categories.

연구 동기 및 목표

• 군 작용을 갖는 3-카테고리의 관점에서 G-crossed braided 카테고리의 고차 카테고리적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 1--surjective G-pointed 3-카테고리의 4-카테고리와 G-crossed braided 카테고리의 2-카테고리 사이의 불일치를 스트릭트화를 통해 해결하기 위해.
• 델로핑 가설을 자명한 군에서 자명하지 않은 군으로 일반화하여, G-crossed braided 카테고리가 1-surjective G-pointed 3-카테고리로부터 자연스럽게 유도됨을 보여주기 위해.
• 위상적 및 conformal 장 이론에서 G-crossed braided 카테고리의 구성에 대한 통일된 카테고리적 기반을 제공하기 위해.

제안 방법

• 브레이드된 모나이드 카테고리를 하나의 객체와 하나의 1-모르피즘을 갖는 3-카테고리로 해석하기 위해 델로핑 가설을 사용한다.
• 군 G의 델로핑인 BG → C 형태의 3-함수 π를 통해 1--surjective G-pointed 3-카테고리를 도입한다.
• 3-카테고리 C를 하나의 객체와 그 아래에서 합성에 의해 군 G를 이루는 1-모르피즘을 갖는 Gray-카테고리로 스트릭트화한다.
• 스트릭트한 G-pointed 3-카테고리의 2-카테고리와 스트릭트한 G-crossed braided 카테고리의 2-카테고리 사이의 스트릭트한 2-동치를 구축한다.
• 모든 G-crossed braided 카테고리가 스트릭트한 것으로 동치임을 보여주는 Galvez-Carrillo의 결과를 활용하여, 전체 2-카테고리로의 동치를 확장한다.
• 특히 텐서레이터와 모나이드 자연변환에 대해, 그림적 계산과 스트링 다이어그램의 자연성 조건을 사용하여 동치의 일관성 조건을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 G-crossed braided 카테고리는 어떻게 고차 카테고리적 구조에서 체계적으로 도출될 수 있는가?
• RQ2 3-카테고리의 맥락에서 G-crossed braided 카테고리의 정확한 고차 카테고리적 구조는 무엇인가?
• RQ3 3-카테고리의 1--surjective G-pointing은 G-crossed braided 카테고리의 전부의 자료를 어떻게 캡슐화하는가?
• RQ4 3-카테고리 이론을 사용하여 델로핑 가설을 자명한 군에서 자명하지 않은 군으로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 스트릭트화는 3-카테고리와 G-crossed braided 카테고리 사이의 동치를 수립하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 1--surjective G-pointed 3-카테고리의 4-카테고리와 G-crossed braided 카테고리의 2-카테고리 사이의 동치가 확립되어 기초적인 통합이 이루어졌다.
• 동치는 스트릭트한 G-pointed 3-카테고리와 스트릭트한 G-crossed braided 카테고리로 통과하는 스트릭트한 2-동치의 징검다리 형태로 달성된다.
• 모든 G-crossed braided 카테고리는 스트릭트한 것으로 동치이므로, 동치를 스트릭트 수준에서 구성할 수 있다.
• G-pointed 3-카테고리의 4-카테고리의 호모로지 2-카테고리들은 압축 가능하며, 이는 그 2-카테고리적 성격을 확인한다.
• 이 구성은 고전적 델로핑 가설을 일반화한다: G = {e}일 경우, 결과는 브레이드된 모나이드 카테고리와 두 번째로 탈퇴한 3-카테고리 사이의 동치를 복원한다.
• 동치는 명시적인 자료를 통해 실현된다: G-crossed braided 카테고리는 3-카테고리의 1-모르피즘과 2-모르피즘으로부터 Gray-카테고리 기반의 그림적 계산을 통해 구성된다.