[논문 리뷰] A cubic nonconventional ergodic average with Möbius and Liouville weight

El Houcein El Abdalaoui, Xiangdong Ye|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 03.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 27인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 스펙트럼 분해, Davenport 추정, 그리고 Katai-Bourgain-Sarnak-Ziegler 기준의 Wiener-Wintner 판본을 사용하여, Möbius 또는 Liouville 함수에 의해 가중된 2차 비전통적 에르고딕 평균이 거의 확실히 0으로 수렴함을 확립한다. 핵심 결과는 이러한 산술 함수의 자기상관이 빠르게 감쇠함을 보여주며, 이는 $ C / \ln(N)^\epsilon $ 정도의 상한을 갖는다. 이는 이 설정에서 Sarnak의 Möbius 수직성 추측을 지지한다.

ABSTRACT

It is shown that the cubic nonconventional ergodic average of order 2 with Möbius and Liouville weight converge almost surely to zero. As a consequence, we obtain that the Cesàro mean of the self-correlations and some moving average of the self-correlations of Möbius and Liouville functions converge to zero.

연구 동기 및 목표

• Möbius 및 Liouville 가중치가 붙은 2차 비전통적 에르고딕 평균의 거의 확실한 수렴을 0으로 확립하는 것.
• Möbius 및 Liouville 함수의 자기상관의 Cesàro 평균과 특정 이동 평균이 0으로 수렴함을 보여주는 것.
• Davenport 추정과 Katai-Bourgain-Sarnak-Ziegler 기준의 Wiener-Wintner 판본을 비전통적 에르고딕 평균의 맥락으로 확장하는 것.
• Möbius 및 Liouville 함수의 자기상관에 대한 정량적 감쇠 추정을 제공하여, 이들이 발산하는 기하급수적 수열을 따라 합산 가능함을 보여주는 것.
• 동적 시스템에서 가중 평균 하에 수렴을 증명하여 Sarnak의 Möbius 수직성 추측을 지지하는 것.

제안 방법

• Nikomeier-Sarnak-Ziegler (NSZE) 분해를 사용하여 함수 $ f_1 $ 을 스펙트럼, 거의 주기적, 약한 혼합 성분으로 분해한다.
• 이중 재귀 Bourgain 정리(DRBT)를 적용하여 가중 평균에서 스펙트럼 및 거의 주기적 성분의 기여를 통제한다.
• Möbius 및 Liouville 함수를 포함한 지수합의 상한을 확보하기 위해 Davenport 추정을 사용하여 자기상관 항의 감쇠를 보장한다.
• Katai-Bourgain-Sarnak-Ziegler 기준의 Wiener-Wintner 판본을 사용하여 가중 지수합의 거의 확실한 수렴을 확립한다.
• Birkhoff 개별 에르고딕 정리를 적용하여 약한 혼합 성분을 통제하고, 이 성분의 기여가 $ N \to \infty $ 일 때 사라짐을 보여준다.
• 모든 성분을 삼각 부등식과 $ \epsilon $-근사로 조합하여 전체 평균이 거의 확실히 0으로 수렴함을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Möbius 또는 Liouville 가중치가 붙은 2차 비전통적 에르고딕 평균이 거의 확실히 0으로 수렴하는가?
• RQ2 Möbius 및 Liouville 함수의 자기상관의 Cesàro 평균이 0으로 수렴함을 보일 수 있는가?
• RQ3 이 함수들의 이동 평균도 0으로 수렴하는가? 그리고 이들은 발산하는 기하급수적 수열을 따라 합산 가능한가?
• RQ4 Katai-Bourgain-Sarnak-Ziegler 기준의 Wiener-Wintner 판본을 사용하여 가중 지수합의 거의 확실한 수렴을 증명할 수 있는가?
• RQ5 일반적인 유계 곱셈 함수에 대해 강한 Daboussi-Delange 조건이 성립하는가? 이는 유사한 수렴 결과를 가능하게 하는가?

주요 결과

• Möbius 또는 Liouville 가중치가 붙은 3차 비전통적 에르고딕 평균은 2차 수준에서 거의 확실히 0으로 수렴한다.
• Möbius 함수의 자기상관에 대한 Cesàro 평균은 임의의 $ \epsilon > 0 $ 에 대해 $ \frac{1}{N}\sum_{m=1}^{N}\left|\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\bm{\mu}(n)\bm{\mu}(n+m)\right| \leq \frac{C}{\ln(N)^\epsilon} $ 를 만족한다.
• Liouville 함수의 경우에도 동일한 감쇠 상한이 성립한다: $ \frac{1}{N}\sum_{m=1}^{N}\left|\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\bm{\lambda}(n)\bm{\lambda}(n+m)\right| \leq \frac{C}{\ln(N)^\epsilon} $.
• 자기상관이 감쇠 속도 덕분에, Möbius 및 Liouville 함수의 자기상관은 임의의 발산하는 기하급수적 수열을 따라 합산 가능하다.
• 증명 과정에서 약한 혼합 성분의 기여가 극한에서 사라짐을 보여주어 전체 평균이 거의 확실히 0으로 수렴함을 보장한다.
• 이 결과는 비전통적 평균과 곱셈 가중치 하에서 Möbius 수직성의 성립을 보여주며, Sarnak의 추측을 지지한다.