[논문 리뷰] A family of mixed finite elements for the biharmonic equations on triangular and tetrahedral grids

Jun Hu, Rui Ma외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 06.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 39인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 삼각형 및 사면체 메esh에서 빌라미드 방정식을 위한 새로운 혼합 유한요소 가족을 제안한다. 이는 $H({\rm{div}}\,{\mathbf{div}};\mathbb{S})$-일致하는 대칭 응력 요소를 $H(\mathbf{div};\mathbb{S})$-일치하는 공간에서 유도하여 $\mathbf{div}\bm{\sigma}$의 법선 연속성을 강제함으로써 구성된다. 이 방법은 $k \geq 3$일 때 최적의 $k$-차수 수렴을 달성하며, 수치 실험을 통해 균일하고 비균일한 메esh에서 초수렴이 확인되었다.

ABSTRACT

This paper introduces a new family of mixed finite elements for solving a mixed formulation of the biharmonic equations in two and three dimensions. The symmetric stress $\bmσ=- abla^{2}u$ is sought in the Sobolev space $H({ m{div}}\bm{div},Ω;\mathbb{S})$ simultaneously with the displacement $u$ in $L^{2}(Ω)$. Stemming from the structure of $H(\bm{div},Ω;\mathbb{S})$ conforming elements for the linear elasticity problems proposed by J. Hu and S. Zhang, the $H({ m{div}}\bm{div},Ω;\mathbb{S})$ conforming finite element spaces are constructed by imposing the normal continuity of $\bm{div}\bmσ$ on the $H(\bm{div},Ω;\mathbb{S})$ conforming spaces of $P_{k}$ symmetric tensors. The inheritance makes the basis functions easy to compute. The discrete spaces for $u$ are composed of the piecewise $P_{k-2}$ polynomials without requiring any continuity. Such mixed finite elements are inf-sup stable on both triangular and tetrahedral grids for $k\geq 3$, and the optimal order of convergence is achieved. Besides, the superconvergence and the postprocessing results are displayed. Some numerical experiments are provided to demonstrate the theoretical analysis.

연구 동기 및 목표

• 2차원 및 3차원에서 빌라미드 방정식을 위한 안정적이고 최적의 혼합 유한요소 방법을 혼합 변분 형식을 사용하여 개발한다.
• 일般적인 삼각형 및 사면체 격자에서 대칭 응력 텐서를 위한 $H({\rm{div}}\,{\mathbf{div}};\mathbb{S})$-일치 유한요소를 구성한다.
• 특히 비정규 메쉬에서 응력 및 이동 변수에 대해 최적의 수렴 속도를 확보한다.
• 향상된 정확도를 위해 초수렴 및 후처리 결과를 수립한다.

제안 방법

• $H(\mathbf{div};\mathbb{S})$-일치하는 $P_k$ 대칭 텐서 요소에서 $\mathbf{div}\bm{\sigma}$의 법선 연속성을 강제하여 $H({\rm{div}}\,{\mathbf{div}};\mathbb{S})$-일치 유한요소 공간을 구성한다.
• 이동 $u$에 대해 연속성 요구 없이 조각별 $P_{k-2}$ 다항식을 사용하여 이산 공간 구성 과정을 단순화한다.
• 선형 탄성에 대해 기존의 $H(\mathbf{div};\mathbb{S})$-일치 요소의 구조를 활용하여 기저 함수가 계산적으로 다룰 수 있도록 한다.
• $k \geq 3$일 때 삼각형 및 사면체 격자에서 이산 함수 공간의 철저한 구성으로 인프-서프 안정성을 확보한다.
• 이동 근사의 수렴 속도를 향상시키기 위해 후처리 기법을 적용한다.
• 균일하고 비균일한 삼각형 메쉬, 특히 특이점이 있는 L자형 영역을 포함한 수치 실험을 통해 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 삼각형 및 사면체 격자에서 $H({\rm{div}}\,{\mathbf{div}};\mathbb{S})$-일치 응력 요소를 사용하여 안정적이고 최적 수렴하는 혼합 유한요소 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 기존의 $H(\mathbf{div};\mathbb{S})$-일치 요소로부터 $H({\rm{div}}\,{\mathbf{div}};\mathbb{S})$-일치 유한요소를 효율적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 비균일 및 급격히 변하는 메쉬에서, 특히 해의 특이성이 존재할 경우 이 방법의 수렴 행동은 어떠한가?
• RQ4 제안된 방법은 초수렴을 보이며, 후처리를 통해 이동의 수렴 속도를 추가로 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 혼합 유한요소는 삼각형 및 사면체 격자에서 $k \geq 3$일 때 수치 실험으로 확인된 최적의 $k$-차수 수렴을 달성한다.
• 균일 메쉬에서 응력 $\sigma$의 $L^2$-노름 오차는 $k=5$일 때 약 $k \approx 3.94$의 수렴 차수를 보이며, 거의 최적의 수렴을 나타낸다.
• 이동 $u$의 $L^2$-노름 오차는 $k=5$일 때 약 1.96의 수렴 차수를 보이며, 최적의 2차 수렴에 가까워진다.
• 초수렴이 관찰됨: 후처리된 이동 $u_h^*$는 균일 메쉬에서 $H^2$-노름에서 $k=5$일 때 약 3.97의 수렴 차수를 달성한다.
• 비균일 메쉬에서, 응력 $\sigma$와 $u$의 $L^2$ 오차는 각각 최대 3.96 및 1.99의 수렴 차수를 유지한다.
• 특이해가 존재하는 L자형 영역에서 수렴은 여전히 관찰되나 특이성으로 인해 떨어지며, $k=5$일 때 이동 오차는 약 1.48의 수렴 차수를 보인다.