[논문 리뷰] A Galois connection between classical and intuitionistic logics. I: Syntax

Sergey A. Melikhov|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 09.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 51인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 새로운 모달 결합자 $\nabla$ 와 $\bigcirc$ 를 사용하여 인 intuitionistic (QH) 및 고전적 (QC) 술어논리의 보존적 확장인 QHC를 제안한다. 이는 QH와 QC의 Lindenbaum 부분순서집합 사이에 갈로와 연결을 수립함으로써 두 논리의 이중성을 형식화한다. 주요 기여는 지식-그런-것(명제)과 지식-어떻게-것(문제)이라는 두 가지 수학적 지식 방식을 쌍대 재구성 사상들을 통해 통합한 형식 체계이다. 쿨모고로프의 이重부정 번역은 QH를 QHC에 매립시키며, 고델의 증명 가능성 번역은 QC+($\nabla\bigcirc$)를 QHC에 매립시키며, 이는 QS4와 동일시됨을 보여준다.

ABSTRACT

In a 1985 commentary to his collected works, Kolmogorov remarked that his 1932 paper "was written in hope that with time, the logic of solution of problems [i.e., intuitionistic logic] will become a permanent part of a [standard] course of logic. A unified logical apparatus was intended to be created, which would deal with objects of two types - propositions and problems." We construct such a formal system, as well as its predicate version QHC, which is a conservative extension of both the intuitionistic predicate calculus QH and the classical predicate calculus QC. The only new connectives ? and ! of QHC induce a Galois connection (i.e., a pair of adjoint functors) between the Lindenbaum posets (i.e. the underlying posets of the Lindenbaum algebras) of QH and QC. Kolmogorov's double negation translation of propositions into problems extends to a retraction of QHC onto QH; whereas Goedel's provability translation of problems into modal propositions extends to a retraction of QHC onto its QC+(?!) fragment, identified with the modal logic QS4. The QH+(!?) fragment is an intuitionistic modal logic, whose modality !? is a strict lax modality in the sense of Aczel - and thus resembles the squash/bracket operation in intuitionistic type theories. The axioms of QHC attempt to give a fuller formalization (with respect to the axioms of intuitionistic logic) to the two best known contentual interpretations of intiuitionistic logic: Kolmogorov's problem interpretation (incorporating standard refinements by Heyting and Kreisel) and the proof interpretation by Orlov and Heyting (as clarified by Gödel). While these two interpretations are often conflated, from the viewpoint of the axioms of QHC neither of them reduces to the other one, although they do overlap.

연구 동기 및 목표

• 지식-그런-것(명제)과 지식-어떻게-것(문제)을 동등하게 다룰 수 있는 통합된 형식 논리 프레임워크를 정의함으로써, 쿨모고로프의 단일 논리 장치를 통한 두 유형의 수학적 지식 처리를 실현한다.
• QH와 QC의 각각의 증명 이론적 구조를 유지하면서, QH와 QC의 보존적 확장인 QHC를 구성한다.
• QH와 QC의 Lindenbaum 부분순서집합 사이에 새로운 결합자 $\nabla$ 와 $\bigcirc$ 를 사용하여 갈로와 연결을 수립함으로써, 인식론적 논리와 고전 논리 간의 이중성을 형식화한다.
• 쿨모고로프의 문제 해석과 올로프, 하이팅의 증명 해석이라는 두 역사적으로 별개의 인식론적 논리의 해석을, 서로를 감소시키지 않고도 하나의 형식 체계 내에서 통합한다.
• 쿨모고로프의 이중부정 번역과 고델의 증명 가능성 번역을 QHC에서 QH와 QC+($\nabla\bigcirc$)로의 전반적인 재구성 사상으로 확장함으로써, 후자를 QS4와 동일시한다.

제안 방법

• 두 개의 새로운 모달 결합자 도입: $\nabla$ (반대 개념으로 $\bigcirc$ 와 대응) 는 명제를 문제로 매핑하고, $\bigcirc$ 는 문제를 모달 명제로 매핑한다.
• QH와 QC의 보존적 확장으로 QHC를 정의하며, $\nabla$ 와 $\bigcirc$ 간의 상호작용을 형식화하는 공리를 추가하여 QH와 QC의 Lindenbaum 부분순서집합에 갈로와 연결을 유도한다.
• 쿨모고로프의 이중부정 번역을 통해 QHC에서 QH로의 재구성 사상을 구성함으로써, $\nabla\bigcirc p \to p$ 가 QH에서 증명 가능하다는 것을 보여주며, 이는 인식론적 논리를 재구성 사상으로 포함함을 의미한다.
• QHC에서 QC+($\nabla\bigcirc$)로의 재구성 사상을 구성함으로써, 이 조각이 고델의 증명 가능성 번역을 통해 QS4 모달 논리와 동형임을 보여준다.
• QHC의 공리들을 사용하여, $\nabla$ 를 통한 쿨모고로프의 문제 해석과 $\bigcirc$ 를 통한 증명 해석을 모두 형식화함으로써, 이들이 논리적으로 구별되지만 상호 연관되어 있음을 보장한다.
• 순서론적 이중성을 적용하여, QH와 QC의 Lindenbaum 부분순서집합을 범주로 간주하고, $\nabla$ 와 $\bigcirc$ 를 통해 쌍대된 충실한 함자(갈로와 연결)를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지식-그런-것과 지식-어떻게-것을 동등하게 다루는 단일 형식 체계를 QH와 QC를 보존적으로 확장하면서도, 각각의 의미 해석을 유지할 수 있는가?
• RQ2 QH와 QC의 기초가 되는 부분순서집합 사이에 갈로와 연결을 유도하는 모달 연산자를 사용하여, 명제(지식-그런-것)와 문제(지식-어떻게-것) 간의 이중성을 어떻게 형식화할 수 있는가?
• RQ3 쿨모고로프의 문제 해석과 인식론적 논리의 증명 해석이 서로를 감소시키지 않고 통합된 체계 내에서 얼마나 잘 공존할 수 있는가?
• RQ4 고델의 증명 가능성 번역과 쿨모고로프의 이중부정 번역을 QHC에서 QH와 QC+($\nabla\bigcirc$)로의 전반적인 재구성 사상으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 QHC 내에서 모달자 $\bigcirc\nabla$ 의 정확한 논리적 역할은 무엇이며, 이는 인식론적 유형 이론에서의 스쿼시/브라켓 연산과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• QHC는 QH와 QC의 보존적 확장이므로, 인식론적 논리와 고전 논리의 모든 정리가 확장된 체계 내에서도 그대로 유지된다.
• 결합자 $\nabla$ 와 $\bigcirc$ 는 QH와 QC의 Lindenbaum 부분순서집합 사이에 갈로와 연결을 유도하며, 명제와 문제 간의 이중성을 형식화한다.
• 쿨모고로프의 이중부정 번역은 QHC에서 QH로의 재구성 사상으로 확장되며, $\nabla\bigcirc p \to p$ 는 QH에서 증명 가능하다.
• 고델의 증명 가능성 번역은 QHC에서 QC+($\nabla\bigcirc$)로의 재구성 사상으로 확장되며, 이 조각은 QS4 모달 논리와 동일시된다.
• QH+($\bigcirc\nabla$) 조각은 인식론적 모달 논리이며, 그 모달자 $\bigcirc\nabla$ 는 '엄격한 릴렉스 모달'로 간주되며, 인식론적 유형 이론에서의 스쿼시/브라켓 연산과 유사하다.
• 쿨모고로프의 문제 해석과 증명 해석이라는 두 가지 내용적 해석은 QHC 내에서 서로를 감소시키지 않지만, $\nabla$ 와 $\bigcirc$ 를 공유하는 프레임워크를 통해 통합된다.