[논문 리뷰] A hybrid Fourier--Real Gaussian Mixture method for fast galaxy--PSF convolution

Dustin Lang|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 31.

Galaxies: Formation, Evolution, Phenomena참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 은하 프로파일을 격자형 점원함수(PSF)로 빠르고 정확하게 컨볼루션하기 위한 하이브리드 푸리에-실공간 가우시안 혼합 방법을 제시한다. 일반적인 은하 프로파일(예: de Vaucouleurs, Sérsic)을 가우시안 혼합으로 근사함으로써, 고주파 성분에 대해서는 푸리에 변환의 효율성을 활용하고, 저주파 성분에 대해서는 실공간 컨볼루션을 적용함으로써 앨리어싱과 초해상도 비용을 피하면서도 혼합 근사 내에서 정확성을 유지한다.

ABSTRACT

I present a method for the fast convolution of a model galaxy profile by a point-spread function (PSF) model represented as a pixel grid. The method relies upon three observations: First, most simple radial galaxy profiles of common interest (deVaucouleurs, exponential, Sersic) can be approximated as mixtures of Gaussians. Second, the Fourier transform of a Gaussian is a Gaussian, thus the Fourier transform of a mixture-of-Gausssian approximation of a galaxy can be directly evaluated as a mixture of Gaussians in Fourier space. Third, if a mixture component would result in Fourier-space aliasing, that component can be evaluated in real space. For mixture components to be evaluated in Fourier space, we use the FFT for the PSF model, direct evaluation of the Fourier transform for the galaxy, and the inverse-FFT to return the result to pixel space. For mixture components to be evaluated in real space---which only happens when the mixture components is much larger than the PSF---we use a simple Gaussian approximation of the PSF, perform the convolution analytically, and evaluate in real pixel space. The method is fast and exact (to the extent that the mixture-of-Gaussians approximation of the galaxy profile is exact) as long as the pixelized PSF model is well sampled. This Fourier method can be seen as a way of applying a perfect low-pass filter to the (typically strongly undersampled) galaxy profile before convolution by the PSF, at exactly the Nyquist frequency of the PSF pixel model grid. In this way, it avoids the computational expense of a traditional super-resolution approach. This method allows the efficient use of pixelized PSF models (ie, a PSF represented as a grid of pixel values) in galaxy forward model-fitting approaches such as the Tractor.

연구 동기 및 목표

• 우수한 해상도를 갖지 못한 은하 프로파일을 격자형 PSF로 컨볼루션하는 데 발생하는 계산적 병목 현상을 해결하기 위해.
• 푸리에 공간에서 은하 프로파일 컨볼루션에 있어 초해상도 렲업 테이블이나 고비용 룩업 테이블이 필요 없도록 하기 위해.
• 임의의 PSF 모델을 격자 형태로 표현한 경우에도 일반 은하 프로파일에 대해 정확하고 빠르게 컨볼루션할 수 있도록 하기 위해.
• 대규모 설문 조사에서 확장 가능한 프론트엔드 모델링을 지원하기 위해 계산 비용을 최소화하면서도 정확성을 유지하기 위해.

제안 방법

• 일반적인 은하 표면 밝기 프로파일(예: de Vaucouleurs, Sérsic, 지수)을 유한한 가우시안 혼합으로 근사한다.
• 혼합물에 대해 푸리에 변환을 적용한다: 가우시안의 푸리에 변환은 가우시안이므로, 은하의 푸리에 변환은 푸리에 공간에서의 가우시안 혼합으로 변환된다.
• FFT를 통해 변환할 경우 앨리어징이 발생할 수 있는 혼합 성분에 대해서는 분석적 가우시안 컨볼루션을 사용해 실공간에서 직접 컨볼루션을 평가한다.
• FFT를 사용해 PSF의 푸리에 변환을 계산하고, 은하의 푸리에 변환과 곱하여 푸리에 공간에서 곱한 후, 역FFT를 적용해 픽셀 공간으로 복귀한다.
• 크기가 큰 성분(저주파)에 대해서는 실공간에서 직접 컨볼루션을 수행하고, 가우시안 근사된 PSF를 사용하여 고주파 앨리어징을 방지한다.
• 푸리에 공간과 실공간 성분의 결과를 조합하여, 최종적으로 앨리어징이 없고 혼합 근사 내에서 정확한 컨볼루션 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 푸리에 공간과 실공간 컨볼루션을 조합한 하이브리드 접근 방식이 은하-PSF 컨볼루션에서 속도와 정확성 모두를 달성할 수 있는가?
• RQ2 표준 은하 프로파일이 계산 목적으로 가우시안 혼합으로 얼마나 정확하게 근사될 수 있는가?
• RQ3 초해상도 렌더링을 사용하지 않고도, 샘플링이 불충분한 은하 프로파일에서 발생하는 앨리어징을 어떻게 방지할 수 있는가?
• RQ4 이 방법이 다양한 PSF 모델을 가진 대규모 설문 조사 데이터에 효율적으로 적용될 수 있는가?
• RQ5 이 방법이 푸리에 공간에서 Sérsic 프로파일을 위한 사전 계산된 룩업 테이블이 필요 없도록 하는가?

주요 결과

• 혼합-가우시안 근사 내에서 정확한 컨볼루션을 달성하고, PSF 격자의 나이퀴스트 주파수에서 완벽한 저통과 필터를 적용함으로써 앨리어징을 방지한다.
• 초해상도 렌더링이 필요 없어져 기존 방법에 비해 계산 비용을 크게 감소시킨다.
• 인터폴레이션을 통해 Sérsic 지수 간의 보간을 통해 각 지수별 룩업 테이블이 필요 없도록 하여 일반 Sérsic 프로파일의 스케일링에 대한 효율적인 프론트엔드 모델링을 가능하게 한다.
• 이 기법은 DESI 레이크리티 이미징 설문 조사에서 성공적으로 구현되었으며, 20,000 제곱도에 달하는 이미징 데이터에서 20억 개 이상의 소스를 처리했다.
• 지수 프로파일과 Sérsic 프로파일의 푸리에 공간 평가에 분석적 표현식을 사용하여 성능을 향상시키고, 빠른 지수 근사 기법으로 가속화할 수 있다.
• Tractor 코드 내에서의 구현은 하이브리드 접근 방식이 대규모 광학 설문 조사에서 높은 정확도를 유지하면서도 계산 오버헤드를 줄임을 입증한다.