[논문 리뷰] A Local Resolution of the Problem of Time. III. The other classical facets piecemeal

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 15.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 48인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론에서 문제의 시공간의 9개의 새로운 고전적 측면을 제시하며, 딜라크 및 리의 알고리즘을 사용하여 제약 닫힘, 관측 가능성 부여, 시공간 재구성, 겹침/재겹침 불변성 등의 문제를 단계적으로 해결한다. 주요 기여는 리의 수학에 기반한 좌표 불변의 다중텐서 미적분학적 프레임워크로, 배경 독립성의 측면을 체계적으로 다루며, 딜라크 대수다발과 관측 가능성 대수 등의 대수적 구조를 통해 국소적으로 문제의 시공간을 해결한다.

ABSTRACT

We introduce nine further local facets of the classical Problem of Time, and underlying Background Independence aspects, the previous two Articles having covered one further facet-and-aspect each for a total of eleven. I.e. 1) Constraint Closure, 2) Assignment of Observables, 3) Space Construction from Less Structured Space, A) Spacetime Construction from Space, 0') Spacetime Relationalism, 1') Spacetime Generator Closure, 2') Assignment of Spacetime Observables, 3') Spacetime Construction from Less Structured Spacetime, and B) Foliation Independence. These are classically implemented piecemeal by the Dirac Algorithm for 1) and the Lie Algorithm for 1'). Taking Function Spaces Thereover: over phase space for 2) and over the space of spacetimes for 2'). Feeding Deformed Families into the Dirac Algorithm for A) and into the Lie Algorithm for 3) and 3'), working out whenever Rigidity is encountered. Spacetime's diffeomorphism-invariance and perturbative Lie derivative for 0'). Finally, Refoliation Invariance following from the Dirac algebroid of the GR constraints for B). Each of these approaches is moreover grounded in Lie's Mathematics in accord with this Series' claim. The generalizations required to extend these resolutions to solve combined rather than just piecemeal facets is the main subject of Articles V to XIII. We include novel work on, firstly, Closure, including a blockwise breakdown into more specific Closure Problems. Secondly, on a coordinate-free Multi-tensor Calculus suitable for joint treatment of Background Independence aspects, presenting in particular the Dirac Algorithm, and ensuing theory of observables and of deformations. Finally, aspect 3') is new to the current Article.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성 이론에서 배경 독립성과 관련된 이전에 탐색되지 않은 9개의 고전적 측면을 다루는 것.
• 디라크 알고리즘과 리의 수학과 같은 기존의 고전적 방법을 사용하여 이러한 측면을 단계적으로 해결하는 것.
• 관측 가능성, 변형, 제약 구조의 통합적 처리에 적합한 좌표 불변의 다중텐서 미적분학적 프레임워크를 개발하는 것.
• 문제의 시공간을 극복하기 위한 체계적이고 논리적으로 정렬된 고전적 기초를 마련하여 양자적 확장의 길을 열 것.
• 시공간 미분동형성 불변성, 재겹침 불변성, 그리고 일반 상대성 이론의 제약 구조의 대수적 구조가 수행하는 역할를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 제약 닫힘(측면 1)과 시공간 생성자 닫힘(측면 1’)을 해결하기 위해 딜라크 알고리즘을 적용하여 제약의 일관성과 완전성을 확보한다.
• 시공간 상대성(측면 0’)과 더 구조가 적은 시공간으로부터의 시공간 구축(측면 3’)를 다루기 위해 리 알고리즘을 사용하며, 특히 리 미분과 유량 방법을 활용한다.
• 관측 가능성 부여(측면 2 및 2’)를 위해 '그 위에 기능 공간을 취하는 것'을 구현하여, 1차 제약과 푸아송/디라크 괄호에서 가환하는 함수로 제한한다.
• 기존의 구조와의 혼동을 방지하기 위해 구성 공간, 위상 공간, 시공간의 구조를 명확히 구분하기 위해 새로운 좌표 불변의 다중텐서 미적분학을 도입한다.
• 해밀턴 제약의 교환자(H)를 통해 재겹침 불변성을 수식화하여, 일반 상대성 이론의 딜라크 대수다발의 세 번째 식(56)에서 유래됨을 보이며, 이는 구조 함수를 포함한다.
• 시간적 상대성의 겹침 형태(TRiFol 형식)를 사용하여 시간적 상대성과의 호환성을 유지하면서도 겹침 불변 역학을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제약 닫힘, 관측 가능성 부여, 시공간 구축 등의 9개의 새로운 고전적 측면이 고전적 장이론적 방법을 통해 어떻게 개별적으로 해결될 수 있는가?
• RQ2 디라크 및 리의 알고리즘이 일반 상대성 이론의 제약 대수의 맥락에서 이러한 측면을 체계적으로 해결하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 좌표 불변의 다중텐서 미적분학이 구성 공간, 위상 공간, 시공간에서의 배경 독립성 측면을 통합적으로 다룰 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ4 딜라크 대수다발의 구조, 특히 그 구조 함수의 사용이 일반 상대성 이론에서 재겹침 불변성을 어떻게 코딩하는가?
• RQ5 관측 가능성 대수적 슈퍼구조와 제약의 대수적 서브구조가 쌍대 유계 랜스를 형성하는 방식은 무엇이며, 물리 법칙에 있어 그 의미는 무엇인가?

주요 결과

• 제약 닫힘은 딜라크 알고리즘을 통해 해결되며, 이는 제약이 일관성 없거나 불완전한지 확인할 수 있게 하며, 성공적인 닫힘은 1차 제약의 리 대수적 구조를 유도한다.
• 관측 가능성 문제는 기능 공간을 1차 제약과 푸아송/디라크 괄호에서 가환하는 함수로 제한함으로써 해결되며, 이는 제약의 하위구조 랜스에 쌍대적인 관측 가능성 대수적 슈퍼구조를 형성한다.
• 공간적 구조로부터의 시공간 재구성은 시공간 재구성 프로그램을 통해 달성되며, 이는 고전 수준에서 시공간 재구성 문제를 해결한다.
• 재겹침 불변성은 일반 상대성 이론의 딜라크 대수다발의 세 번째 식(56)의 직접적인 결과임을 증명하였으며, 이는 서로 다른 겹침을 따라 진화해도 동일한 물리적 결과를 보장한다.
• 딜라크 대수다발의 구조 함수는 구조 상수와 달리 시공간을 겹치는 데 있어 광범위한 자유도를 코딩하며, 대수다발의 구조 |$\mathfrak{D}\text{irac}(\Sigma) = \text{Diff}(\mathfrak{M}, \text{Fol}) \gg \text{Diff}(\mathfrak{m})$|는 관측자에 의존하지 않는 역학을 포괄한다.
• 리의 연구에서 유도된 유량 방법은 관측 가능성 가환 조건을 위한 체계적인 PDE 해법 접근법을 제공하며, 이는 [52]의 이전 처리를 초월한다.