[논문 리뷰] A Local Resolution of the Problem of Time. XIV. Grounding on Lie's Mathematics

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 31.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 81인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 양자 중력에서 배경 독립성의 기초를 리의 수학에 둠으로써 문제의 시간의 국소적 해결을 제시한다. 리 도함수를 관계론에 활용하고, 리 괄호를 닫힘과 관측가 대수의 기초로 사용하며, 리 대수의 강성 하에서의 변형 이론을 적용한다. 핵심 기여는 배경 독립성의 모든 측면—관계론, 닫힘, 관측가, 변형, RIO 불변성—이 리 이론적 구조에서 체계적으로 유도되는 통합적이고 접근 가능한 프레임워크를 제공하는 것이다. 일반 상대성 이론의 재구조화 불변성은 RIO 불변성으로 일반화된다.

ABSTRACT

In a major advance and simplification of this field, we show that A Local Resolution of the Problem of Time - also viewable as A Local Theory of Background Independence - can at the classical level be described solely by of Lie's Mathematics. This comprises i) Lie derivatives to encode Relationalism, including via solving the generalized Killing equation. ii) Lie brackets to formulate Closure, via Lie's Algorithm suitably extended to accommodate Dirac and topological insights, producing generator Lie algebraic structures: Lie algebras or algebroids. iii) Observables defined by Lie brackets relations, recastable as explicit PDE systems to be solved using the Flow Method, and constitute observables Lie algebras. iv) The `passing families of theories through the Dirac Algorithm' approach to Spacetime Construction from Space, and to obtaining more structure from less internally to each of space and spacetime separately, are identified as deformations that work selectively when Lie Algebraic Rigidity is encountered. v) Reallocation of Intermediary-Object (RIO) Invariance: the general Lie Theory's commuting-pentagon analogue of posing Refoliation Invariance for GR. i) to v) cover respectively the Relationalism, Closure, Observables, Deformations and RIO super-aspects of Background Independence, Lie Theory moreover already collates i) to iii) and the internal case of iv) as multiple interacting aspects. The Problem of Time's multiple interacting facets are then explained as, firstly, having 2 copies of this Lie collation, 1 for each of spacetime and space primalities. Secondly, a Wheelerian two-way route between these two primalities, comprising v) and iv)'s `spacetime from space' version. We further develop the Comparative Theory of Background Independence thus. We can even give a `pillars of the Foundations of Geometry' parallel of our Background Independence super-aspects.

연구 동기 및 목표

• 문제의 시간을 배경 독립성의 국소 이론으로 재구성함으로써 양자 중력에서 문제의 시간을 해결하기 위해.
• 관계론, 닫힘, 관측가, 변형, RIO 불변성 등 배경 독립성의 다수의 측면을 하나의 리 이론적 프레임워크 아래 통합하기 위해.
• 문제의 시간 문헌을 리의 원래 수학적 구조에 기반하여 단순화하고 일반화함으로써 대학원 수준의 연구자들이 접근할 수 있도록 하기 위해.
• 리 대수의 강성과 RIO 불변성을 타당한 배경 독립 이론을 선택하는 원리로 식별하기 위해.
• 니젠하이즈와 남부의 수학을 통해 이 프레임워크를 초대칭 및 초중력 이론으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 구성 또는 시공간적 관계론을 위해 일반화된 킬링 방정식을 풀이함으로써 관계론을 표현하기 위해 리 도함수를 사용한다.
• 닫힘을 수식화하기 위해 리 괄호를 사용하며, 디라크와 위상수학적 통찰을 통합한 리의 알고리즘을 확장하여 생성자 리 대수 또는 리 앨베로이드를 도출한다.
• 대칭 생성자와의 영괄호 리 괄호 관계를 통해 관측가를 정의하며, 이를 일阶 선형 PDE로 재구성하고 유동 방법을 통해 해를 구한다.
• 관측가의 PDE 시스템을 유동 방법을 적용하여 해석하며, 흐름을 리 군의 적분 곡선 또는 1-파라미터 부분군으로 해석한다.
• 디라크 알고리즘을 통과하는 '이론의 가족'을 리 대수의 강성 하에서 선택적으로 작용하는 변형 절차로 식별한다.
• 일반화된, 참조 재구조화 불변성의 교환 다각형 유사체인 실재적 중간 물체(RIO) 불변성을 도입하여 일반 상대성 이론을 초월한 적용 가능성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 리의 수학만을 사용하여 고전적 수준에서 문제의 시간을 해결할 수 있는가?
• RQ2 리 도함수, 괄호, 대수들이 함께 어떻게 배경 독립성의 다섯 가지 초구조적 측면을 통합하는가?
• RQ3 리 대수의 강성은 타당한 배경 독립 이론을 선택하는 데 어떤 원리로 작용하는가?
• RQ4 RIO 불변성은 배경 독립 프레임워크 내에서 다양한 관측자 간의 관측 일치를 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 유동 방법을 어떻게 사용하여 관측자를 전역적으로 할당할 수 있으며, 기저 기하의 특이점이나 비연속성의 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 문제의 시간과 배경 독립성은 모두 리 이론적 구조에서 파생되는 단일 리 이론적 프레임워크 아래 통합되었으며, 관계론, 닫힘, 관측가, 변형, RIO 등 다섯 가지 초구조적 측면이 모두 리 구조에서 유도되었다.
• 관측가가 리 대수를 이룬다는 것이 입증되었으며, 그 구성은 일阶 선형 PDE를 유동 방법으로 푸는 것으로 귀결된다.
• 리의 알고리즘에 디라크와 위상수학적 통찰을 통합함으로써 생성자 리 대수 또는 리 앨베로이드를 도출함으로써 닫힘이 달성된다. 일반 상대성 이론의 경우 디라크 앨베로이드가 그 예이다.
• 리 대수의 강성은 코homology 군 $\mbox{H}^{2}(\mathfrak{g},\mathfrak{g})$ 를 통해 특성화되며, 이는 이론이 더 구조화된 형태로 변형될 수 있는지를 식별하는 선택 원리로 작용한다.
• RIO 불변성은 일반 상대성 이론의 재구조화 불변성을 일반화한 교환 다각형 조건으로, 다양한 중간 물체와 관측자 기준 간의 일관성을 보장한다.
• 니젠하이즈와 남부 수학을 통해 이 프레임워크는 초대칭 및 초중력 이론으로 확장 가능하며, 일반 상대성 이론을 초월한 광범위한 적용 가능성을 시사한다.