[논문 리뷰] A Martingale Approach for Fractional Brownian Motions and Related Path Dependent PDEs

Frédéri Viens, Jianfeng Zhang|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 분수 Brown 운동과 같은 Volterra 유형 과정에 대해, 시간 일致성과 비-세미마르팅글 성질을 극복하기 위해 보조 마르팅글 프로세스 Θ를 도입함으로써 기능적 Itô 미적분을 개발한다. 주요 기여는 Dupire의 기능적 Itô 미적분을 비-마르코프 및 비-세미마르팅글 설정으로 확장하는 경로에 의존하는 PDE 프레임워크를 제공함으로써 조건부 기댓값 계산과 리드된 변동성 모델에서의 옵션 가격 설정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we study dynamic backward problems, with the computation of conditional expectations as a main objective, in a framework where the (forward) state process satisfies a Volterra type SDE, with fractional Brownian motion as a typical example. Such processes are neither Markov processes nor semimartingales, and most notably, they feature a certain time inconsistency which makes any direct application of Markovian ideas, such as flow properties, impossible without passing to a path-dependent framework. Our main result is a functional Itô formula, extending the seminal work of Dupire \cite{Dupire} to our more general framework. In particular, unlike in \cite{Dupire} where one needs only to consider the stopped paths, here we need to concatenate the observed path up to the current time with a certain smooth observable curve derived from the distribution of the future paths. This new feature is due to the time inconsistency involved in this paper. We then derive the path dependent PDEs for the backward problems. Finally, an application to option pricing in a financial market with rough volatility is presented.

연구 동기 및 목표

• 비-마르코프 및 비-세미마르팅글 과정, 예를 들어 분수 Brown 운동과 같은 과정의 조건부 기댓값을 계산하는 데 도전하는 것.
• 표준 PDE 및 마르코프 방법이 적용될 수 없게 만드는 Volterra 유형 SDE의 시간 일치성 결여와 흐름 성질 부족 문제를 해결하는 것.
• 보조 마르팅글 프로세스 Θ를 도입하여 Dupire의 기능적 Itô 미적분을 비-세미마르팅글 과정으로 확장하는 것.
• 기존 과정의 전체 역사를 기반으로 하는 상태 과정에 대해 후행 문제의 경로에 의존하는 PDE를 유도하고 해결하는 것.
• 리드된 변동성 모델과 같은 리드된 변동성 모델에서의 옵션 가격 설정과 헤징에의 적용을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 고정된 s에 대해 t에 대한 마르팅글인 Θₛᵗ = ∫₀ᵗ K(s,r) dWᵣ로 정의된 보조 프로세스 Θ를 도입하여 세미마르팅글 성질을 복원하는 것.
• 과거에 의존하는 성분과 미래 조건부 성분을 분리하기 위해 Xₛ = Θₛᵗ + (Xₛ − Θₛᵗ)의 수직 분해를 사용하는 것.
• 조건부 기댓값을 Yₜ = u(t, X[₀,ₜ) ⊗ Θᵗ[ₜ,ₜ])로 재구성하는 것. 여기서 u는 관측된 경로와 미래 경로의 분포로부터 유도된 부드러운 미래 경로 관측치에 의존한다.
• 현재 경로와 미래 경로 관측치에 대한 경로 의존성을 고려한 새로운 기능적 Itô 공식을 유도하여 Dupire의 프레임워크를 확장하는 것.
• Θ의 마르팅글 성질과 과정의 시간 일치하지 않는 구조를 활용하여 u에 대한 경로에 의존하는 PDE(PPDE)를 수립하는 것.
• 프레임워크를 리드된 버그미 모델에 적용하여, 확장된 미적분학이 리드된 변동성 모델에서 조건부 기댓값과 옵션 가격 설정을 가능하게 하는 것을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기능적 Itô 미적분은 분수 Brown 운동과 같은 비-세미마르팅글 및 비-마르코프 과정으로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 시간 일치하지 않는 과정에서 마르코프 또는 흐름 성질의 형태를 복원하기 위해 어떤 보조 구조가 필요한가?
• RQ3 상태 과정이 세미마르팅글 또는 마르코프 성질을 갖지 않을 경우, 경로에 의존하는 프레임워크에서 조건부 기댓값은 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ4 기억성을 갖는 Volterra 유형 과정에 대해 Dupire의 기능적 Itô 공식의 올바른 일반화 형태는 무엇인가?
• RQ5 제안된 프레임워크는 리드된 변동성 모델, 예를 들어 리드된 버그미 모델에서 옵션 가격 설정에 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 보조 마르팅글 프로세스 Θ를 통해 미래 경로 관측치를 통합함으로써 Dupire의 프레임워크를 비-세미마르팅글 과정으로 확장하는 새로운 기능적 Itô 공식을 도입한다.
• 후행 문제의 해는 현재 경로 X[₀,ₜ)와 미래 경로 관측치 Θᵗ[ₜ,ₜ]의 함수로 표현되며, 이는 일반화된 형태의 경로에 의존하는 PDE를 가능하게 한다.
• 공통 프로세스 (X, Θ)를 통해 시간 일치하지 않는 원래 과정의 문제를 극복하고 흐름 성질의 형태를 회복함으로써 PDE 기반 분석이 가능해진다.
• 프레임워크는 리드된 버그미 모델에 적용되었으며, 이 과정이 변동성의 지수 성장으로 인해 엄밀한 국소 마르팅글이 될 수 있음을 보여준다.
• ρ = 0 및 H = 1/2일 때 리드된 버그미 모델에서 E[Sₜᵖ] = ∞ (p > 1)임을 증명하여, 1을 초과하는 차수의 모멘트가 존재하지 않음을 시사한다.
• 수익 함수 g가 선형 성장을 보일 경우, 변환된 함수 ̂g(x) = g(eˣ)가 지수적으로 증가함을 입증하여, 표준 PDE 방법에 요구되는 적분 가능성 조건을 위반함을 보여주며, 제안된 프레임워크의 필요성을 강조한다.