[논문 리뷰] A model 2-category of enriched combinatorial premodel categories

Reid William Barton|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 27.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 25인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 트랙터블 대칭 모노이드 모델 범주 V에서 풍부화된 조합적 프리모델 범주 카테고리의 2-범주적 구조를 구축하며, 호모토피 이론의 기초적 문제를 해결한다. 즉, 모델 범주의 2-범주가 교차곱을 갖지 않아 모델 2-범주적 구조를 지닐 수 없음을 보여주며, 프리모델 범주—두 개의 중첩된 약한 분해 체계를 가진 범주—의 도입과 함께, 모든 극한, 쌍극한, 그리고 텐서 곱을 갖는 잘 정의된 2-범주 V CPM를 구성함으로써, 퀼렌 동치와 피브레이션을 통한 호모토피 이론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In his book on model categories, Hovey asked whether the 2-category $\mathbf{Mod}$ of model categories admits a "model 2-category structure" whose weak equivalences are the Quillen equivalences. We show that $\mathbf{Mod}$ does not have pullbacks and so cannot form a model 2-category. This lack of pullbacks can be traced to the two-out-of-three axiom on the weak equivalences of a model category. Accordingly, we define a premodel category to be a complete and cocomplete category equipped with two nested weak factorization systems. Combinatorial premodel categories form a complete and cocomplete closed symmetric monoidal 2-category $\mathbf{CPM}$ whose tensor product represents Quillen bifunctors. For a monoidal combinatorial premodel category $V$, the 2-category $V\mathbf{CPM}$ of $V$-enriched combinatorial premodel categories is simply the category of modules over $V$ (viewed as a monoid object of $\mathbf{CPM}$), and therefore inherits the algebraic structure of $\mathbf{CPM}$. The homotopy theory of a model category depends in an essential way on the weak equivalences, so it does not extend directly to a general premodel category. We develop a substitute homotopy theory for premodel categories satisfying an additional property which holds automatically for model categories and also for premodel categories enriched in a monoidal model category. In particular, for a monoidal model category $V$, we obtain a notion of Quillen equivalence of $V$-premodel categories which extends the one for $V$-model categories. When $V$ is a tractable symmetric monoidal model category, we construct a model 2-category structure on $V\mathbf{CPM}$ with these Quillen equivalences as the weak equivalences, by adapting Szumiło's construction of a fibration category of cofibration categories.

연구 동기 및 목표

• 모델 범주의 2-범주(Mod)가 교차곱을 갖지 않아 모델 2-범주적 구조를 지닐 수 없다는 기초적 문제를 해결한다.
• 두 번 중의 세 가지 성질을 제거함으로써 모델 범주를 일반화하면서도 대수적 구조를 유지하는 프리모델 범주를 제안한다.
• V가 트랙터블 대칭 모노이드 모델 범주일 때, V CPM—조합적 V-프리모델 범주의 2-범주—에 모델 2-범주적 구조를 구축한다.
• 추가 공리 하에 프리모델 범주에 대한 호모토피 이론을 정의하며, 이는 V가 모노이드 모델 범주에 풍부화되어 있을 경우 자동으로 성립한다.
• V CPM가 CPM(조합적 프리모델 범주의 2-범주)의 대수적 구조를 그대로 이어받으며, 퀀렌 동치를 약한 동치로 하는 완전한 모델 2-범주적 구조를 지닌다.

제안 방법

• 모델 범주를 일반화하기 위해, 두 개의 중첩된 약한 분해 체계를 가진 완비 및 완비 범주로서 프리모델 범주를 도입한다.
• 작은 순서수에 대한 생성 코프ibrations와 트ivial 코프ibrations의 집합을 갖는 조합적 프리모델 범주를 정의하여, 잘 정의된 체계적 제약 조건을 확보한다.
• 모든 극한과 쌍극한, 그리고 내부 함의사상에 대해 수반되는 텐서 곱을 갖는 CPM—조합적 프리모델 범주의 2-범주—를 구성한다. 이는 풍부화된 범주론을 가능하게 한다.
• 스즈무일로의 피브레이션 범주 구성법을 응용하여, 트랙터블 대칭 모노이드 모델 범주 V에 대해 V CPM에 모델 2-범주적 구조를 정의한다.
• 조합성의 순서수 분석에 기반한 기술적 변형인 '큰 소형 개체 방법'을 도입하여, V CPM 내에서 분해를 구성한다.
• 경로 경로 범주 구성법과 테임-완전 분해를 활용하여, (코프ibrations, 피브레이션 ∩ 약한 동치) 및 (코프ibrations ∩ 약한 동치, 피브레이션)이 약한 분해 체계를 이룬다는 것을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모델 범주의 2-범주가 퀀렌 동치를 약한 동치로 하는 모델 2-범주적 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ2 모델 범주의 2-범주에서 모델 2-범주가 될 수 없게 되는 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ3 두 개의 중첩된 약한 분해 체계를 가진 프리모델 범주는 극한과 대수적 구조를 복원하기 위한 적절한 일반화가 될 수 있는가?
• RQ4 V가 트랙터블 대칭 모노이드 모델 범주일 때, 조합적 V-프리모델 범주의 2-범주(V CPM)는 모델 2-범주적 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ5 프리모델 범주에 대한 호모토피 이론은 어떻게 정의되며, 어떤 조건에서 고전적 모델 범주의 호모토피 이론으로 확장되는가?

주요 결과

• 논문에서 제시된 반례를 통해, 모델 범주의 2-범주(Mod)는 교차곱을 갖지 않으며, 따라서 모델 2-범주가 될 수 없다.
• 조합적 프리모델 범주의 2-범주(CPM)는 모든 작은 극한과 쌍극한을 지니며, 내부 함의사상에 대해 수반되는 텐서 곱을 갖는다. 이는 잘 정의된 2-다중범주임을 의미한다.
• 트랙터블 대칭 모노이드 모델 범주 V에 대해, 조합적 V-프리모델 범주의 2-범주(V CPM)는 퀀렌 동치를 약한 동치로, 코프ibrations를 코프ibrations로, 피브레이션을 피브레이션으로 하는 모델 2-범주적 구조를 지닌다.
• V CPM 내에서 '애노다인 결합'(애노다인 코프ibrations)은 코프ibrations이자 약한 동치인 사상으로, 재진행 원리에 의해 재진행 공리를 만족한다.
• 경로 범주 분해와 사영 경로 범주 구성법을 사용하여, 피브란트 대상 간의 임의의 사상을 퀀렌 동치 다음에 피브레이션으로 분해함으로써, 필요한 분해 체계의 존재를 확인한다.
• 조합성의 순서수 분석에 기반한 '큰 소형 개체 방법'은 집합론적 장애를 극복하여 V CPM 내에서 분해를 구성할 수 있게 하며, 이는 핵심 기술적 과제를 해결한다.