[논문 리뷰] A new approach of couple fixed point results on JS-metric spaces

Tanusri Senapati, Lakshmi Kanta Dey|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 20.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 표준 거리공간, b-거리공간, 이질적 거리공간을 포함하는 일반화된 거리공간 프레임워크인 JS-거리공간에서 새로운 결합 고정점 정리들을 수립한다. $X^2$에 대한 새로운 $D_+$-유도 거리와 $k \in [0,1)$인 상수를 포함한 수축 조건을 도입함으로써, 혼합 단조성과 완비성 조건 하에서 결합 고정점의 존재성과 유일성을 증명하며, 이전 방법과는 다름없이 간단화된 증명을 제공한다.

ABSTRACT

In this article, we study coupled fixed point theorems in newly appeared JS-metric spaces. It is important to note that the class of JS-metric spaces includes standard metric space, dislocated metric space, b-metric space etc. The purpose of this paper is to present several coupled fixed point results in a more general way. Moreover, the techniques used in our proofs are indeed different from the comparable existing literature. Finally, we present a non- trivial example to validate our main result.

연구 동기 및 목표

• 표준 거리공간에서의 결합 고정점 결과를 더 일반적인 JS-거리공간 프레임워크로 확장하기.
• Bhaskar와 Lakshmikantham의 결합 고정점 정리를 $k \in [0,1)$인 수축 조건을 활용해 일반화하기.
• 비교 가능성과 유계성 조건 하에서 결합 고정점의 유일성 조건 설정하기.
• 기존 거리공간에 비해 더 약한 구조를 지닌 JS-거리공간의 특성을 활용하여 증명을 단순화하기.
• 주요 이론적 결과를 검증하는 비자명한 예시 제공하기.

제안 방법

• $X^2$에 대한 새로운 거리 $D_+$를 $D_+((x,y),(u,v)) = D(x,u) + D(y,v)$로 정의하고, $(X^2, D_+)$가 JS-거리공간임을 증명한다.
• 수축 조건 $D_+(T_F(X), T_F(Y)) \leq k D_+(X,Y)$를 $k \in [0,1)$로 사용하여 반복 수열의 수렴을 보장한다.
• 제한 상한($\limsup$)-기반 JS-거리공간 공리(D3)를 적용하여 극한 행동을 통제하고 고정점으로의 수렴을 보장한다.
• 혼합 단조성 조건과 함께 초기 점에서 반복 수열 $(x_n, y_n)$을 구성하고, 이들이 결합 고정점으로 수렴함을 보인다.
• 비슷하거나 유계인 쌍에 대한 수축 사상 원리와 유계성 조건을 활용하여 유일성을 증명한다.
• $D_+$-거리 구조를 사용하여 반복 적용된 $T_F^n(z^*)$의 수렴을 분석하고, 극한의 유일성에 의해 $w$와 $\tilde{z}$가 같음을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 거리공간에서의 결합 고정점 정리는 b-거리공간과 이질적 거리공간을 포함하는 JS-거리공간으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 Bhaskar와 Lakshmikantham의 수축 조건은 JS-거리공간 설정에 어떻게 적응시킬 수 있으며, 존재성과 유일성을 유지할 수 있는가?
• RQ3 요소들이 비교 가능하거나 유계일 경우, JS-거리공간에서 결합 고정점의 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 $X^2$에 대한 $D_+$-거리 사용이 수렴성과 고정점 존재성에 필요한 위상적 성질을 유지하는가?
• RQ5 JS-거리공간에서 결합 고정점 $(\tilde{x}, \tilde{y})$에 대해 $\tilde{x} = \tilde{y}$가 성립하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 저자들은 혼합 단조성 조건과 완비성 조건 하에서 $k$-수축 조건($k \in [0,1)$)을 만족하는 완비 JS-거리공간에서 $F: X^2 \to X$인 사상에 대해 결합 고정점의 존재성을 증명한다.
• 주어진 수축 조건과 완비성 조건 하에서 수열 $(x_n, y_n)$이 결합 고정점 $\tilde{z} = (\tilde{x}, \tilde{y})$로 수렴하며, 여기서 $\tilde{x} = F(\tilde{x}, \tilde{y})$이고 $\tilde{y} = F(\tilde{y}, \tilde{x})$임을 보인다.
• 두 고정점이 비교 가능하거나 공통 상한 또는 하한을 가지며 $D_+$-거리가 유한한 경우, 결합 고정점의 유일성이 확립된다.
• $\tilde{x}$와 $\tilde{y}$가 비교 가능하고 $D(\tilde{x}, \tilde{y}) < \infty$이면 $\tilde{x} = \tilde{y}$임을 보이며, 이는 고정점의 성분이 서로 같다는 것을 의미한다.
• 증명 기법은 이전 문헌과 다름을 보이며, $\limsup$-기반 JS-거리공간 공리와 $D_+$-거리 구조에 의존하여 더 단순화된 수렴 논증을 가능하게 한다.
• 주요 결과를 검증하기 위해 비자명한 예시를 구성하였으며, 이는 이론이 구체적인 JS-거리공간에서 적용 가능함을 보여준다.