[논문 리뷰] A new family of maximum scattered linear sets in $\mathrm{PG}(1,q^6)$

Daniele Bartoli, Corrado Zanella외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 05.

Coding theory and cryptography참고 문헌 24인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 홀수 $q$ 에 대해 $h^{q^3+1} = -1$ 를 만족하는 $h \in \mathbb{F}_{q^6}$ 를 매개변수로 사용하는 특수한 $q$-다항식 $f_h(x) = h^{q-1}x^q - h^{q^2-1}x^{q^2} + x^{q^4} + x^{q^5}$ 를 이용하여 $\mathrm{PG}(1,q^6)$ 내에서 새로운 최대 산산각 $\mathbb{F}_q$-선형 집합의 가족을 제안한다. 이 구성은 새로운 최대 산산각 선형 집합을 도출하며, 시키의 대응 관계를 통해 매개변수 $(6,6,q;5)$ 를 가진 새로운 $\mathbb{F}_q$-선형 MRD-코드를 생성한다. 이러한 코드는 $q$ 가 5의 거듭제곱이면서 $h \in \mathbb{F}_q$ 인 특수한 경우를 제외하고는 이전에 알려진 모든 코드와 비준동적이다. 이 결과는 2019년에 제기된 이러한 선형 집합의 정점 성질에 관한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We generalize the example of linear set presented by the last two authors in "Vertex properties of maximum scattered linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^n)$" (2019) to a more general family, proving that such linear sets are maximum scattered when $q$ is odd and, apart from a special case, they are are new. This solves an open problem posed in "Vertex properties of maximum scattered linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^n)$" (2019). As a consequence of Sheekey's results in "A new family of linear maximum rank distance codes" (2016), this family yields to new MRD-codes with parameters $(6,6,q;5)$.

연구 동기 및 목표

• 기존에 알려진 $\mathrm{PG}(1,q^n)$ 내 최대 산산각 선형 집합의 예를 $n=6$ 에 대해 더 넓은 가족으로 일반화한다.
• 홀수 $q$ 에 대해 특수한 경우를 제외하고는 새로운 선형 집합 가족이 최대 산산각임을 증명한다.
• [27]에서 제기된 이러한 선형 집합의 신규성에 관한 열린 문제를 해결한다.
• 관련된 MRD-코드가 이전에 알려진 모든 $\mathbb{F}_q$-선형 MRD-코드와 비준동적임을 증명한다. 유일한 예외는 특정한 경우이다.
• 시키의 구성에 의해 산산각 선형 집합과 MRD-코드 사이의 연결 고리를 확장한다.

제안 방법

• 저자는 $\mathbb{F}_{q^6}$ 상에서 $h \in \mathbb{F}_{q^6}$ 이며 $h^{q^3+1} = -1$ 를 만족하는 조건을 갖는 $q$-다항식 $f_h(x) = h^{q-1}x^q - h^{q^2-1}x^{q^2} + x^{q^4} + x^{q^5}$ 를 정의한다.
• 그들은 정리 2.1 을 적용하여, $f_h(x)$ 의 산산각성은 수정된 딕슨 행렬에서 유도된 두 행렬식이 공통 근을 가지지 않음을 확인하는 것으로 귀결된다.
• 증명은 케이스 분석을 통해 진행되며, 먼저 $h \in \mathbb{F}_q$ 인 경우(즉, $q \equiv 1 \pmod{4}$ 를 의미함)를 다루고, 그 다음 $h \notin \mathbb{F}_q$ 인 경우를 다루며, 이 경우 $h \neq \pm \sqrt{-1}$ 이어야 하며, 이는 $h \in \mathbb{F}_{q^2}$ 가 되는 것을 방지하기 위함이다.
• 저자는 체 이론적 추론과 추적 형식의 성질을 활용하여, 행렬식 조건이 충족됨을 보여 산산각성을 확인한다.
• 그들은 선형 집합 $\mathcal{L}_h$ 가 $\mathrm{P}\Gamma\mathrm{L}$-준동적일 수 없는 이전에 알려진 산산각 선형 집합과 $\mathrm{PG}(1,q^6)$ 내에서 다르다는 것을 증명한다. 유일한 예외는 $h \in \mathbb{F}_{q^2}$ 인 경우이다.
• 시키의 대응 관계를 통해, 선형 집합 $\mathcal{L}_h$ 는 매개변수 $(6,6,q;5)$ 를 가지며 왼쪽 이상수화가 $\mathbb{F}_{q^6}$ 와 동형인 $\mathbb{F}_q$-선형 MRD-코드를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조건 $h^{q^3+1} = -1$ 를 만족하는 모든 홀수 $q$ 와 $h \in \mathbb{F}_{q^6}$ 에 대해 새로운 $q$-다항식 $f_h(x)$ 는 산산각인가?
• RQ2 다항식 $f_h(x)$ 와 관련된 선형 집합 $\mathcal{L}_h$ 는 $\mathrm{P}\Gamma\mathrm{L}$-준동적을 제외하고는 이전에 알려진 집합들과 새로운가 아닌가?
• RQ3 선형 집합 $\mathcal{L}_h$ 에서 유도된 MRD-코드는 매개변수 $(6,6,q;5)$ 를 가진 이전에 알려진 모든 $\mathbb{F}_q$-선형 MRD-코드와 비준동적인가?
• RQ4 $h \notin \mathbb{F}_{q^2}$ 인 경우 선형 집합 $\mathcal{L}_h$ 는 삼항식으로 정의될 수 있는가?
• RQ5 다항식 $f_h(x)$ 의 구성은 [27]의 예제를 일반화하는가? 그리고 최대 산산각 선형 집합의 정점 성질에 관한 열린 문제를 해결하는가?

주요 결과

• 조건 $h^{q^3+1} = -1$ 를 만족하는 모든 홀수 $q$ 와 $h \in \mathbb{F}_{q^6}$ 에 대해 $q$-다항식 $f_h(x) = h^{q-1}x^q - h^{q^2-1}x^{q^2} + x^{q^4} + x^{q^5}$ 는 수정된 딕슨 행렬의 행렬식 조건을 통해 증명된 바, 산산각임을 입증한다.
• 관련된 선형 집합 $\mathcal{L}_h$ 는 $\mathrm{PG}(1,q^6)$ 내에서 최대 산산각이며, $h \in \mathbb{F}_q$ 이고 $q$ 가 5의 거듭제곱인 경우를 제외하고는 이전에 알려진 산산각 선형 집합과 $\mathrm{P}\Gamma\mathrm{L}$-준동적이지 않다.
• 이 구성은 [27]에서 제기된 선형 집합의 신규성에 관한 열린 문제를 해결하며, 예외적인 경우를 제외하고 $\mathcal{L}_h$ 가 새로운 집합임을 확인한다.
• 선형 집합 $\mathcal{L}_h$ 에서 유도된 MRD-코드 $\mathcal{C}_{f_h}$ 는 매개변수 $(6,6,q;5)$ 를 가지며, 왼쪽 이상수화가 $\mathbb{F}_{q^6}$ 와 동형이며, $h \in \mathbb{F}_q$ 이고 $q$ 가 5의 거듭제곱인 경우를 제외하고는 이전에 알려진 $\mathbb{F}_q$-선형 MRD-코드와 비준동적이다.
• $h \in \mathbb{F}_{q^2}$ 인 경우 선형 집합 $\mathcal{L}_h$ 는 [23, 섹션 7]의 기존 가족과 준동적이나, $h \notin \mathbb{F}_{q^2}$ 인 경우는 이전에 알려진 모든 가족 외부에 있다.
• 논문은 [21, 표 1]을 확장하여 [10]의 가족을 일반화할 수 있는 새로운 산산각 선형 집합의 예를 제공한다. 다만, $\mathcal{L}_h$ 가 삼항식으로 정의될 수 있는지 여부는 아직 미해결 상태이다.