[논문 리뷰] A New State-Space Representation of Lyapunov Stability for Coupled PDEs and Scalable Stability Analysis in the SOS Framework

Matthew M. Peet|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 20.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다양한 경계 조건을 가진 연립 선형 PDE, 즉 포물형, 타원형 및 쌍곡형 시스템을 포함하여 라플라스 안정성 분석을 위한 새로운 상태공간 표현을 제안한다. 라플라스 도함수를 $L_2$ 공간 위에서 직접 선형 연산자 부등식으로 표현함으로써, 부분 적분이나 간격 함수에 의존하지 않고, 합의 제곱(SOS) 프레임워크를 통해 확장 가능하고 비보수적인 안정성 분석이 가능해진다.

ABSTRACT

In this paper, we present a framework for Stability Analysis of Systems of Coupled Linear Partial-Differential Equations. The class of PDE systems considered in this paper includes parabolic, elliptic and hyperbolic systems with Dirichelet, Neuman and mixed boundary conditions. The results in this paper apply to systems with a single spatial variable and assume existence and continuity of solutions except in such cases when existence and continuity can be inferred from existence of a Lyapunov function. Our approach is based on a new concept of state for PDE systems which allows us to express the derivative of the Lyapunov function as a Linear Operator Inequality directly on $L_2$ and allows for any type of suitably well-posed boundary conditions. This approach obviates the need for integration by parts, spacing functions or similar mathematical encumbrances. The resulting algorithms are implemented in Matlab, tested on several motivating examples, and the codes have been posted online. Numerical testing indicates the approach has little or no conservatism for a large class of systems.

연구 동기 및 목표

• 다양한 경계 조건을 가진 연립 선형 PDE 시스템을 위한 확장 가능하고 비보수적인 안정성 분석 프레임워크를 개발하기 위해.
• 라플라스 기반 안정성 증명에서 부분 적분, 간격 함수 또는 기타 복잡한 수학적 구조의 필요성을 제거하기 위해.
• 라플라스 도함수 조건을 $L_2$ 공간에서 직접 선형 연산자 부등식으로 설정하기 위해.
• 디리클레, 노이만 및 혼합 경계 조건을 포함한 포물형, 타원형 및 쌍곡형 시스템을 포함한 광범위한 PDE 클래스를 지원하기 위해.
• 합의 제곱 최적화를 사용하여 수치적으로 다룰 수 있고 구현 가능한 방법을 제공하며, 수치적 테스트를 통해 검증하기 위해.

제안 방법

• PDE 시스템을 위한 새로운 상태공간 표현을 도입하여, 라플라스 함수 도함수를 $L_2$ 공간에서 직접 표현할 수 있도록 한다.
• $L_2$ 공간에서 선형 연산자 부등식(LOI)으로 안정성 조건을 설정함으로써, 부분 적분 및 보조 함수를 피한다.
• 모든 잘 정의된 경계 조건, 혼합 유형 포함, 이 프레임워크가 적용 가능하도록 보장한다.
• MATLAB에서 알고리즘을 구현하고 공개적으로 코드를 배포하여 재현성과 테스트를 지원한다.
• 결과로 도출된 LOI를 수치적으로 해결하기 위해 합의 제곱(SOS) 프레임워크를 적용하여 확장 가능한 안정성 분석을 가능하게 한다.
• 다양한 벤치마크 예제에 대해 접근법을 검증하여 낮은 보수성과 뛰어난 안정성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분 적분에 의존하지 않고 연립 PDE의 라플라스 안정성 분석을 단순화할 수 있는 새로운 상태공간 표현을 개발할 수 있는가?
• RQ2 제안된 프레임워크가 포물형, 타원형 및 쌍곡형 시스템을 포함한 다양한 PDE 유형을 얼마나 잘 처리할 수 있는가?
• RQ3 간격 함수나 보조 구조의 부재가 안정성 분석의 보수성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 결과로 도출된 선형 연산자 부등식은 합의 제곱 최적화를 통해 효율적으로 해결될 수 있는가?
• RQ5 다양한 경계 조건과 PDE 유형에 걸쳐 제안된 방법의 수치적 성능 및 확장성은 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 상태공간 표현은 라플라스 도함수를 $L_2$ 공간에서 직접 선형 연산자 부등식으로 표현할 수 있게 하여, 기존의 분석적 부담을 피한다.
• 이 방법은 디리클레, 노이만 및 혼합 경계 조건을 가진 포물형, 타원형 및 쌍곡형 PDE에 적용 가능하다.
• 수치적 테스트 결과, 이 방법은 광범위한 시스템 클래스에 대해 거의 또는 전혀 보수성이 없는 것으로 나타났다.
• 이 프레임워크는 부분 적분, 간격 함수 또는 PDE 안정성 분석에서 흔히 사용되는 기타 복잡한 수학 도구를 모두 회피한다.
• MATLAB에서의 구현과 공개된 코드 배포로 인해 재현성과 실용적 응용이 가능하다.
• 합의 제곱(SOS) 프레임워크는 제안된 프레임워크 내에서 확장 가능하고 수치적으로 다룰 수 있는 안정성 분석을 성공적으로 가능하게 하였다.