[논문 리뷰] A new truncated $M$-fractional derivative unifying some fractional derivatives with classical properties

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 14.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 5인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 클래스릭스 미적분학 성질을 유지하는 새로운 절단형 $M$-분수도함수 $_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$를 제안한다. 이는 확장형, 대체형, 일반화된 대체형 및 $M$-분수도함수의 네 가지 기존 분수도함수 유형을 하나의 프레임워크로 통합한다. 이 방법을 통해 $M$-분수도함수 열화방정식의 해석적 해를 도출하고, 그래픽적 검증을 수행한다.

ABSTRACT

We introduce a truncated $M$-fractional derivative type for $\alpha$-differentiable functions that generalizes four other fractional derivatives types recently introduced by Khalil et al., Katugampola and Sousa et al., the so-called conformable fractional derivative, alternative fractional derivative, generalized alternative fractional derivative and $M$-fractional derivative, respectively. We denote this new differential operator by $_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta }$, where the parameter $\alpha$, associated with the order of the derivative is such that $ 0 0$ and $ M $ is the notation to designate that the function to be derived involves the truncated Mittag-Leffler function with one parameter. The definition of this truncated $M$-fractional derivative type satisfies the properties of the integer-order calculus. We also present, the respective fractional integral from which emerges, as a natural consequence, the result, which can be interpreted as an inverse property. Finally, we obtain the analytical solution of the $M$-fractional heat equation and present a graphical analysis.

연구 동기 및 목표

• 확장형, 대체형, 일반화된 대체형 및 $M$-분수도함수의 네 가지 기존 분수도함수 유형을 하나의 일관된 프레임워크로 통합한다.
• 기존 도함수들을 일반화하면서도 클래스릭스 미적분학 성질(예: 곱의 법칙, 연쇄법칙)을 유지하는 새로운 미분 연산자 $_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$를 정의한다.
• 원래 함수를 복원할 수 있도록 역연산으로 작용하는 대응 분수적 적분을 수립하여 클래스릭스 미적분학과의 일관성을 확보한다.
• 제안된 도함수의 적용 가능성을 입증하기 위해 $M$-분수도함수 열화방정식을 해석적으로 해결하고, 그래픽 분석을 제공한다.

제안 방법

• 제안된 연산자 $_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$는 한 개의 매개변수를 가진 절단형 미타그레플레르 함수를 사용하여 $\alpha$-미분 가능한 함수에 대해 정의되며, $M$은 이 특수함수의 포함성을 나타낸다.
• 이 도함수는 단일 공식화 아래에서 확장형, 대체형, 일반화된 대체형 및 $M$-분수도함수를 일반화하도록 구성된다.
• 이 방법은 신규 도함수가 선형성, 곱의 법칙, 연쇄법칙과 같은 클래스릭스 미적분학 성질을 만족하도록 보장한다.
• 도함수의 역연산으로 작용하는 대응 분수적 적분이 유도되며, 적절한 조건 하에서 도함수를 적용한 후 적분을 수행하면 원래 함수가 복원된다.
• 절단형 미타그레플레르 함수의 적분 표현 및 성질을 활용하여, 새로운 도함수를 사용해 $M$-분수도함수 열화방정식의 해석적 해를 도출한다.
• 해의 행동을 시각화하기 위해 그래픽 분석을 수행하여, 다양한 매개변수 조건 하에서 $M$-분수도함수 열화방정식의 역학을 설명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확장형, 대체형, 일반화된 대체형 및 $M$-분수도함수를 하나의 분수도함수 연산자로 통합하면서도 클래스릭스 미적분학 법칙을 유지할 수 있는가?
• RQ2 제안된 절단형 $M$-분수도함수는 선형성, 곱의 법칙, 연쇄법칙과 같은 기본적인 미적분학 성질을 만족하는가?
• RQ3 원래 함수를 복원할 수 있도록 작용하는 대응 분수적 적분은 무엇이며, 어떻게 원래 함수를 복원하는가?
• RQ4 제안된 도함수는 $M$-분수도함수 열화방정식과 같은 편미분방정식을 해석적이고 그래픽적으로 검증 가능하게 적용할 수 있는가?
• RQ5 $M$-분수도함수 열화방정식의 해는 다양한 매개변수 값에 따라 어떻게 행동하는가? 그래픽 분석은 어떤 통찰을 제공하는가?

주요 결과

• 제안된 절단형 $M$-분수도함수 $_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$는 네 가지 기존 분수도함수 유형을 하나의 일관된 연산자로 성공적으로 통합한다.
• 신규 도함수는 선형성, 곱의 법칙, 연쇄법칙과 같은 클래스릭스 미적분학 성질을 유지하여 표준 미분해석학과의 일관성을 확보한다.
• 원래 함수를 복원할 수 있도록 작용하는 대응 분수적 적분이 유도되었으며, 이는 도함수 적용 후 원함수 복원이 가능함을 보장한다.
• 제안된 도함수를 사용하여 $M$-분수도함수 열화방정식의 해석적 해를 도출하였으며, 실용적 적용 가능성을 입증한다.
• 해의 그래픽 분석을 통해 분수도함수의 차수 $\alpha$와 매개변수 $\beta$가 해의 프로파일에 미치는 영향을 확인하였으며, 부드러운 전이 및 감쇠 행동을 보여준다.