[논문 리뷰] A non-LEA Sofic Group

Aditi Kar, Nikolay Nikolov|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 02.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성된 소픽 군 중에서 LEA(아벨 군에 국소적으로 매장 가능한 군)가 아닌 첫 번째 알려진 예를 구성하며, 이는 자유로운 합성군이 무한 순환부분군을 통해 합성될 때 LEA 군의 집합이 닫혀 있지 않음을 보여준다. 저자들은 $ G = \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) \ast_Z \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) $가 소픽이지만 잔여 아벨 군이 아니며, 따라서 LEA도 아니라는 것을 보여, 이는 공-amenable LEA 부분군이 존재하지 않기 때문이다.

ABSTRACT

We describe elementary examples of finitely presented sofic groups which are not residually amenable (and thus not initially subamenable or LEA, for short). We ask if an amalgam of two amenable groups over a finite subgroup is residually amenable and answer this positively for some special cases, including countable locally finite groups, residually nilpotent groups and others.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성된 소픽 군 중에서 잔여 아벨 군이 아니며, 따라서 LEA도 아닌 구체적인 예를 만들기.
• 유한 부분군을 통해 합성된 자유 합성군이 잔여 아벨 군 성질을 유지하는지 조사하기.
• A와 B가 잔여 아벨 군이고 C가 유한할 때 $ A \ast_C B $가 잔여 아벨 군이 되는 조건을 규명하기.
• 공-아벨 성질, LEA 부분군, 그리고 소픽 군에서의 합성 자유 군의 구조 간의 관계를 명확히 하기.

제안 방법

• 무한 순환부분군 Z가 일치하는 유니포텐트 행렬에 의해 생성되는 $ G = \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) \ast_Z \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) $를 구성하기.
• 이전 연구에서 확립된, 아벨 군을 통해 합성된 소픽 군의 자유 합성군의 소픽성에 기반하여 G가 소픽임을 확인하기.
• G가 공-amenable LEA 부분군 H를 가진다고 가정하고 모순을 이끌어내기 위해, G가 코셋 공간 $ X = G/H $ 위에 G-불변 평균을 통해 작용하는 방식을 분석하기.
• $ \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) $의 성질 (T)을 활용하여, X의 일반적인 점의 안정자군이 각 요소에서 유한지수 부분군이 되어야 하며, 이는 H의 호모모르피즘에 의한 이미지에서 모순을 이끌어내기.
• 유체 부분군 $ Y_i \cong \mathbb{Z}[1/p] $의 구조와 H와의 교차를 이용하여, 어떤 아벨 군으로의 호모모르피즘에서도 동일한 이미지를 가져야 하는 원소 $ \beta_1, \beta_2 \in H $를 구성하기. 이는 $ \beta_1 \neq \beta_2 $ 이지만, 아벨 군으로의 부분단사형 사상이 존재하지 않음을 위반한다.
• 유도 계열과 프로파르티프로파일 토폴로지의 결과를 적용하여 특수한 경우, 예를 들어 C가 A와 B의 하위 중심계열과 서로소일 경우 잔여 아벨 군 성질을 확립하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 생성된 소픽 군 중에서 LEA가 아닌 것이 존재하는가?
• RQ2 잔여 아벨 군의 집합은 유한 부분군을 통해 합성된 자유 합성군에 대해 닫혀 있는가?
• RQ3 만약 $ n \geq 3 $ 이면 $ \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) $의 복제본을 포함하는 소픽 군이 공-amenable LEA 부분군을 가질 수 있는가?
• RQ4 A와 B가 잔여 아벨 군이고 C가 유한할 때 $ A \ast_C B $가 잔여 아벨 군이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 유한 군의 그래프에서의 기본군이 유한한 정점 군을 가진다면, 이는 가상으로 자유군인가?

주요 결과

• 합성 자유 군의 소픽성에 관한 이론에 따라, 군 $ G = \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) \ast_Z \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) $는 소픽이다.
• 군 G는 공-amenable LEA 부분군을 가지지 않기 때문에 LEA가 아니다.
• G의 모든 공-amenable 부분군은 각 요소 $ \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) $과 유한지수 부분군으로 교차해야 한다.
• 어떤 아벨 군으로의 호모모르피즘에서도 $ \beta_1 = f_1(y(a/p)) $와 $ \beta_2 = f_2(y(a/p)) $의 이미지는 동일해야 하는데, 이는 $ \beta_1 \neq \beta_2 $ 이므로 아벨 군으로의 부분단사형 사상이 존재하지 않음을 위반한다.
• C가 A와 B의 하위 중심계열과 서로소일 경우, $ A \ast_C B $는 잔여 아벨 군이 되며, 이는 추론 8에서 보여진다.
• C가 A와 B의 프로파일 토폴로지에서 Hausdorff일 경우, 합성군 $ A \ast_C B $는 잔여 아벨 군이 되며, 이는 정리 7에서 입증되었다.