[논문 리뷰] A Pointwise Characterisation of the PDE System of Vectorial Calculus of Variations in $L^\infty$

Birzhan Ayanbayev, Nikos Katzourakis|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 18.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 벡터류 미분변분법에서 $L^\infty$에 나타나는 PDE 시스템에 대한 점별 특성화를 제시한다. 새로운 $\chi$-해법 프레임워크를 통해 정의된 일반화된 해들이 약한 변형에 대해 정의된 본질적 최대값 기능 $\mathrm{E}_\infty(u,\mathcal{O}) = \mathrm{ess}\,\sup_{\mathcal{O}} \mathrm{H}(\cdot,u,\mathrm{D}u)$의 국소 최소화자임을 보여준다. 주요 기여는 해밀토니안의 기울기 변수에 대한 기울기의 커널에 대한 사영을 포함하는 완전히 비선형 PDE 시스템을 통해 $L^\infty$ 오일러-라그랑주 시스템의 변분적 특성화이다.

ABSTRACT

Let $n,N\in \mathbb{N}$ with $Ω\subseteq \mathbb{R}^n$ open. Given $H \in C^2(Ω imes \mathbb{R}^N imes \mathbb{R}^{Nn}),$ we consider the functional \[ ag{1} \label{1} E_\infty (u,\mathcal{O})\, :=\, \underset{\mathcal{O}}{\mathrm{ess}\,\sup}\, H (\cdot,u,\mathrm{D} u) ,\ \ \ u\in W^{1,\infty}_ ext{loc}(Ω,\mathbb{R}^N),\ \ \ \mathcal{O} \Subset Ω. \] The associated PDE system which plays the role of Euler-Lagrange equations in $L^\infty$ is \[ \label{2} ag{2} \left\{ \begin{array}{r} H_{P}(\cdot, u, \mathrm{D}u)\, \mathrm{D} \big(H(\cdot, u, \mathrm{D} u)\big) \, = \, 0, \ \ \ H(\cdot, u, \mathrm{D} u) \, [\![H_{P}(\cdot, u, \mathrm{D} u)]\!]^\bot \Big(\mathrm{Div}\big(H_{P}(\cdot, u, \mathrm{D} u)\big)- H_η(\cdot, u, \mathrm{D} u)\Big)\, =\, 0, \end{array} ight. \] where $[\![A]\!]^\bot := \mathrm{Proj}_{R(A)^\bot}$. Herein we establish that generalised solutions to \eqref{2} can be characterised as local minimisers of \eqref{1} for appropriate classes of affine variations of the energy. Generalised solutions to \eqref{2} are understood as $\mathcal{D}$-solutions, a general framework recently introduced by one of the authors.

연구 동기 및 목표

• 벡터류 기능에 대한 $L^\infty$ 오일러-라그랑주 PDE 시스템의 변분적 특성화를 제공하는 것.
• generalized solutions가 $\mathcal{D}$-해법 프레임워크에서 $\mathrm{E}_\infty$의 국소 최소화자임을 확립하는 것.
• $\mathrm{H}_P$의 사영과 발산 항을 포함하는 완전히 비선형 시스템을 통해 $L^\infty$ PDE 시스템을 점별로 특성화하는 것.
• $L^\infty$ 미분변분법 이론을 일반화된 해와 영양 측도를 사용하여 벡터값 함수에 확장하는 것.

제안 방법

• $L^\infty$ PDE에 대한 일반화된 해 개념으로서 $\mathcal{D}$-해법 프레임워크를 도입한다.
• 에너지 기능으로 본질적 최대값 기능 $\mathrm{E}_\infty(u,\mathcal{O}) = \mathrm{ess}\,\sup_{\mathcal{O}} \mathrm{H}(\cdot,u,\mathrm{D}u)$를 사용한다.
• 특정 클래스 $\mathcal{A}^{\parallel,\infty}_{\mathcal{O}}(u)$ 및 $\mathcal{A}^{\bot,\infty}_{\mathcal{O}}(u)$에 속하는 $A$에 대해 $u \mapsto u + A$ 형태의 약한 변형을 사용하여 최소성 조건을 테스트한다.
• 변형된 에너지의 하한 다이니 미분 $\underline{\mathrm{D}}r(0^+)$를 적용하여 필요 조건을 유도한다.
• PDE 시스템을 유도한다: $\mathrm{H}_P \mathrm{D}(\mathrm{H}) = 0$ 및 $\mathrm{H} \cdot [\![\mathrm{H}_P]\!]^\perp \left( \mathrm{Div}(\mathrm{H}_P) - \mathrm{H}_\eta \right) = 0$.
• 두 번째 도함수가 없는 $W^{1,\infty}$ 함수에 대해 영양 측도와 확산 헤시안을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 벡터류 문제에 대해 $L^\infty$ 기능의 최소화 성질을 포괄하는 데 적절한 일반화된 해 개념은 무엇인가?
• RQ2 $L^\infty$ 오일러-라그랑주 PDE 시스템이 벡터값 함수에 대해 점별적으로 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ3 $\mathcal{D}$-해법이 $\mathrm{E}_\infty$의 국소 최소화자인가?
• RQ4 $L^\infty$ PDE 시스템이 에너지 기능의 약한 변형을 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ5 사영 연산자 $[\![\mathrm{H}_P]\!]^\perp$와 발산 항이 변분적 구조에서 어떻게 상호작용하는가?

주요 결과

• $\mathcal{D}$-해법 프레임워크 내의 일반화된 해들은 $\mathcal{A}^{\parallel,\infty}_{\mathcal{O}}(u)$ 및 $\mathcal{A}^{\bot,\infty}_{\mathcal{O}}(u)$ 내의 약한 변형에 대해 $\mathrm{E}_\infty$의 국소 최소화자이다.
• $\mathrm{H}_P \mathrm{D}(\mathrm{H}) = 0$ 및 $\mathrm{H} \cdot [\![\mathrm{H}_P]\!]^\perp (\mathrm{Div}(\mathrm{H}_P) - \mathrm{H}_\eta) = 0$ PDE 시스템은 $\mathcal{D}$-해법을 $\mathrm{E}_\infty$의 최소화자로 특성화한다.
• $C^2$ 함수의 경우, $\mathcal{D}$-해법 조건은 $A^T \mathrm{H}_P$의 발산이 0이 되는 고전적 PDE 시스템으로 축소된다.
• 모든 허용 가능한 약한 변형에 대해 하한 다이니 미분 $\underline{\mathrm{D}}r(0^+)$는 비음성을 띠며, 이는 $\mathrm{E}_\infty(u) \leq \mathrm{E}_\infty(u+A)$를 보장한다.
• 사영 $[\![\mathrm{H}_P]\!]^\perp$는 두 번째 식이 $\mathrm{H}_P$의 범위에 수직으로 작용하도록 보장하여 올바른 기하학적 구조를 포착한다.
• 영양 측도와 확산 헤시안을 사용하여 비연속 함수로의 이론 확장을 가능하게 하여 $L^\infty$ 문제에 대한 강력한 변분적 프레임워크를 제공한다.