[논문 리뷰] Weak Galerkin Finite Element Methods for the Biharmonic Equation on Polytopal Meshes

Lin Mu, Junping Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 05.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 12인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 일반 다면체 메esh에서 이차형 방정식을 위한 새로운 약한 갈레르킨 유한요소법을 제안한다. 이 방법은 불연속 다항식을 사용하며, 이산 $H^2$ 노름에서 최적 수렴성을 확보하고, 다항식 차수에 따라 최적 또는 부분 최적 수렴성을 $L^2$ 노름에서 보이며, 대칭적이며 양의 정부호이고 매개변수 없이 구성된 수식을 갖는다.

ABSTRACT

A new weak Galerkin (WG) finite element method is introduced and analyzed in this paper for the biharmonic equation in its primary form. This method is highly robust and flexible in the element construction by using discontinuous piecewise polynomials on general finite element partitions consisting of polygons or polyhedra of arbitrary shape. The resulting WG finite element formulation is symmetric, positive definite, and parameter-free. Optimal order error estimates in a discrete $H^2$ norm is established for the corresponding WG finite element solutions. Error estimates in the usual $L^2$ norm are also derived, yielding a sub-optimal order of convergence for the lowest order element and an optimal order of convergence for all high order of elements. Numerical results are presented to confirm the theory of convergence under suitable regularity assumptions.

연구 동기 및 목표

• 이차형 방정식을 위한 유연하고 강력한 유한요소법을 개발하여 $C^1$-연속 유한요소 공간이 필요로 하는 것을 피하고자 한다.
• 일반 다각형 또는 다면체 메쉬에서 $H^2$-일致 요소를 구성하는 데 발생하는 계산적 어려움을 극복하고자 한다.
• 임의의 형상 요소에 적용 가능한 약한 갈레르킨 수식에 대해 수학적으로 엄밀한 수렴 이론을 수립하고자 한다.
• 결과로 얻어진 스킴이 대칭적이며 양의 정부호이고 사용자 정의 매개변수가 없는지를 보장하고자 한다.

제안 방법

• 변분 수식에서 고전적 라플라스 연산자를 대체하기 위해 이산 약한 라플라스 연산자 $\Delta_w$ 를 도입한다.
• 형상 규칙성이 임의인 일반 다면체 메쉬에서 불연속 다항식을 사용한다.
• 이산 해의 약한 연속성을 강제하기 위해 안정화 항 $s(u_h, v)$ 를 통합한다.
• 대칭적이며 양의 정부호이고 매개변수가 없는 약한 갈레르킨 수식을 구성한다: $(\Delta_w u_h, \Delta_w v) + s(u_h, v) = (f, v)$.
• 수렴 분석을 위한 근사 성질을 유도하기 위해 국소 $L^2$ 투영 연산자를 활용한다.
• 일반 요소 위에서 다항식 노름을 유계로 유지하기 위해 도메인 역부등식과 형상 규칙성 가정을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 다면체 메쉬에서 $C^1$-연속성이 요구되지 않는 약한 갈레르킨 유한요소법이 이차형 방정식에 대해 최적 수렴성을 확보할 수 있는가?
• RQ2 임의의 순서 다항식 근사에 대해 약한 갈레르킨 방법이 이산 $H^2$ 노름에서 수렴 행동은 어떠한가?
• RQ3 이 방법은 표준 $L^2$ 노름에서 어떻게 성능을 보이며, 특히 최저차수 요소의 경우 어떻게 되는가?
• RQ4 이 방법은 대칭적이며 양의 정부호이고 사용자 조정 매개변수가 없는 형태로 구성될 수 있는가?
• RQ5 일반 메쉬에서 수렴 분석을 뒷받침하기 위해 필요한 근사 부등식과 역부등식은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 다항식 차수에 대해 이산 $H^2$ 노름에서 최적 순서 오차 추정을 확립하였다.
• 최저차수 요소의 경우, $L^2$ 노름에서 부분 최적 수렴 속도를 달성하였다.
• 모든 고차수 요소는 $L^2$ 노름에서 최적 수렴 순서를 확보하였다.
• 이 방법은 대칭적이며 양의 정부호이고 매개변수가 없어 강력하고 구현이 용이하다.
• 수치 실험을 통해 적절한 정규성 가정 하에 이론적 수렴 속도가 확인되었다.
• 핵심 역부등식, 특히 형상 규칙성 요소에서 다항식에 대한 도메인 역부등식이 엄밀히 유도되었고 분석에 활용되었다.