[논문 리뷰] A Primal-Dual Weak Galerkin Finite Element Method for Second Order Elliptic Equations in Non-Divergence Form

Chunmei Wang, Junping Wang|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 13.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 매끄럽지 않은 계수를 가진 비발산형 이阶 타원형 편미분방정식을 위한 원시-쌍대 약한 갈레르킨 유한요소법을 제안한다. 이 방법은 이산 약한 헤시안을 구성하고, 이차형 함수를 최소화하는 제약조건 최적화 문제로 문제를 재구성함으로써, 볼록 및 비볼록 영역에서 비연속성과 비매끄러움을 가진 계수를 가진 경우에도 이산 $H^2$, $H^1$, $L^2$ 노름에서 최적 수렴 속도를 달성한다.

ABSTRACT

This article proposes a new numerical algorithm for second order elliptic equations in non-divergence form. The new method is based on a discrete weak Hessian operator locally constructed by following the weak Galerkin strategy. The numerical solution is characterized as a minimization of a non-negative quadratic functional with constraints that mimic the second order elliptic equation by using the discrete weak Hessian. The resulting Euler-Lagrange equation offers a symmetric finite element scheme involving both the primal and a dual variable known as the Lagrange multiplier, and thus the name of primal-dual weak Galerkin finite element method. Optimal order error estimates are derived for the finite element approximations in a discrete $H^2$-norm, as well as the usual $H^1$- and $L^2$-norms. Some numerical results are presented for smooth and non-smooth coefficients on convex and non-convex domains.

연구 동기 및 목표

• 비발산형 이계 타원형 PDE를 풀기 위한 도전 과제를 다루되, 계수의 불연속성 또는 비매끄러움으로 인해 고전적 변분 방법이 실패하는 경우에 대비한다.
• 계수 텐서 $a_{ij} \in L^\infty(\Omega)$가 매끄럽지 않을 경우, 표준 약한 공식화가 불가능한 상황에서 안정적이고 정확한 유한요소법을 개발한다.
• 원시-쌍대 구조를 가진 제약조건 최적화 프레임워크를 도입함으로써 이산 약한 갈레르킨 스킴의 부정확성 문제를 해결한다.
• Cordes 조건 하에서 이산 $H^2$, $H^1$, $L^2$ 노름에서 최적의 오차 추정치를 확립한다.
• 모서리나 원점에서 특이성이 존재하는 경우에도 볼록 및 비볼록 영역에서의 우수한 성능을 입증한다.

제안 방법

• 다각형 메쉬에서 국소적으로 두 번째 도함수를 재구성할 수 있도록, 약한 갈레르킨 전략을 활용해 이산 약한 헤시안 연산자를 구성한다.
• 이산 문제를 비음수 이차형 함수 $J(v) = \frac{1}{2}s(v,v)$ 의 제약조건 최소화 문제로 공식화하며, 모든 시험 함수 $w \in W_{h,k}$ 에 대해 $\sum_{i,j} (a_{ij} \partial_{ij,d}^2 u_h, w) = (f,w)$ 를 만족시킨다.
• 제약조건을 강제하기 위해 이중 변수(라그랑주 승수) $\lambda_h$ 를 도입하여, 원시 및 이중 변수를 모두 포함하는 대칭 혼합 유한요소 스킴을 유도한다.
• 추가 페널티 항이 필요 없이 제약조건 최적화 공식화를 통해 인프-서프 조건을 만족시킴으로써 안정성을 확보한다.
• 원시 변수에 대해 $C^0$-연속 유한요소 공간을, 이중 변수에 대해 불연속 공간을 사용하여 국소 자유도를 확보하고 비정규 메쉬에서도 융통성 있게 적용할 수 있도록 한다.
• 해결된 오일러-라그랑주 시스템으로부터 대칭적이고 정의된 양의 정합 선형 시스템을 도출하여 이산 해 $u_h$ 와 승수 $\lambda_h$ 를 구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수 텐서가 불연속적이거나 단지 유계일 경우, 비발산형 이계 타원형 PDE를 위한 안정적이고 수렴 가능한 유한요소법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 약한 갈레르킨 프레임워크는 어떻게 확장되어 비발산형 타원형 PDE를 다룰 수 있는가? 이때 이산 약한 헤시안 연산자를 어떻게 구성하는가?
• RQ3 매끄럽지 않은 계수를 가진 문제에서 이 방법의 $H^2$, $H^1$, $L^2$ 노름에서의 최적 수렴 속도는 얼마인가?
• RQ4 해가 정규성이 감소할 수 있는 비볼록 영역에서 이 방법의 성능은 어떠한가?
• RQ5 계수 행렬이 내부 점에서 불연속일 경우에도 원시-쌍대 약한 갈레르킨 공식화가 최적 수렴을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 영역 $\Omega = (0,1)^2$ 에서 $u = |x|^{1.6}$ 인 경우에 대해 수치적으로 $H^1$-세미노름에서 $h^{1.6}$, $L^2$-노름에서 $h^2$ 의 최적 수렴 속도를 관측하였으며, 이는 이론적 정규성 $H^{2.6-\tau}(\Omega)$ 와 일치한다.
• 이중 변수 $\lambda_h$ 는 $L^2$-노름에서 수렴 속도 $r \approx 0.6$ 를 보이며, 비매끄러운 해에 대한 이론적 예측과 일치한다.
• $\Omega = (-1,1)^2$ 에서 계수 행렬이 원점에서 불연속일 경우에도 $H^1$ 및 $L^2$ 노름에서 수렴 속도 $r \approx 1.0$, $\lambda_h$ 의 $L^2$-노름에서 $r \approx 0.6$ 의 수렴 속도를 확보하여 강건성을 확인한다.
• Cordes 조건 하에서 불연속 계수를 가진 경우에도 이산 $H^2$-노름에서 최적 수렴을 유지한다.
• 수치 결과에 따르면 $u - u_h$ 의 $L^2$-오차는 $r \approx 2.0$ 의 수렴 속도를 보이며, 이는 최적 수렴이지만 기존 이론으로는 완전히 설명되지 않는다.
• 이 스킴은 볼록 및 비볼록 영역 모두에서 안정적이고 수렴 가능하며, 모서리 특이성이 존재하는 경우에도 성능이 우수하여 기하학적 및 계수의 비정규성에 대해 강건함을 보여준다.