[논문 리뷰] A Proof of the Conjecture of Lehmer and of the Conjecture of Schinzel-Zassenhaus

Jean-Louis Verger-Gaugry|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 12.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 313인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 동적 제타 함수, 파리 상한 함수, 그리고 극의 파oincaré 점근 전개를 사용하여 비순환 대수적 정수의 ماهل러 측도에 대한 레이머의 추측과 실린젤-차센하우젠의 추측을 증명한다. Mahler 측도에 대한 연속적인 렌티큘러 하한을 수립하고, Mahler 측도의 하한이 페론 수 $\theta^{-1}_{31} \approx 1.08545$ 이하로 떨어지지 않음을 보이며, 이는 $z^{31} - z^{30} - 1$의 주근이다. 또한 동적 차수의 증가함에 따라 갈루아 궤도의 분포가 단위 원에 대해 등분포가 됨을 증명한다.

ABSTRACT

The conjecture of Lehmer is proved to be true. The proof mainly relies upon: (i) the properties of the Parry Upper functions $f_{house(α)}(z)$ associated with the dynamical zeta functions $ζ_{house(α)}(z)$ of the Rényi--Parry arithmetical dynamical systems, for $α$ an algebraic integer $α$ of house "$house(α)$" greater than 1, (ii) the discovery of lenticuli of poles of $ζ_{house(α)}(z)$ which uniformly equidistribute at the limit on a limit "lenticular" arc of the unit circle, when $house(α)$ tends to $1^+$, giving rise to a continuous lenticular minorant ${ m M}_{r}(house(α))$ of the Mahler measure ${ m M}(α)$, (iii) the Poincaré asymptotic expansions of these poles and of this minorant ${ m M}_{r}(house(α))$ as a function of the dynamical degree. With the same arguments the conjecture of Schinzel-Zassenhaus is proved to be true. An inequality improving those of Dobrowolski and Voutier ones is obtained. The set of Salem numbers is shown to be bounded from below by the Perron number $θ_{31}^{-1} = 1.08545\ldots$, dominant root of the trinomial $-1 - z^{30} + z^{31}$. Whether Lehmer's number is the smallest Salem number remains open. A lower bound for the Weil height of nonzero totally real algebraic numbers, $ eq \pm 1$, is obtained (Bogomolov property). For sequences of algebraic integers of Mahler measure smaller than the smallest Pisot number, whose houses have a dynamical degree tending to infinity, the Galois orbit measures of conjugates are proved to converge towards the Haar measure on $|z|=1$ (limit equidistribution).

연구 동기 및 목표

• 비순환 대수적 정수의 Mahler 측도에 대한 보편적인 양의 하한이 존재함을 증명하여 레이머의 추측을 해결하는 것.
• 모든 실수 대수적 수가 $\pm1$이 아니면, Weil 높이에 대한 균일한 하한을 유도하여 실린젤-차센하우젠의 추측을 수립하는 것.
• 살렘 수의 집합이 페론 수 $\theta^{-1}_{31} \approx 1.08545$ 이하로 떨어지지 않음을 보이며, 이는 $z^{31} - z^{30} - 1$의 주근이다.
• Mahler 측도가 가장 작은 피소트 수 이하인 대수적 정수의 공액수 갈루아 궤도 측도가 동적 차수의 무한으로 갈수록 단위 원 $|z| = 1$ 위의 Haar 측도로 약한 수렴함을 보이는 것.

제안 방법

• 동적 차수 $\text{dyg}(\beta)$를 $\beta > 1$에 대해 정의하며, 삼항식 $G_n(z) = -1 + z + z^n$의 근 $\theta^{-1}_n$에 의해 둘러싸인 간격을 통해 정의되며, $\beta \to 1^+$일 때 증가한다.
• Rényi-Parry 동적 제타 함수 $\zeta_\alpha(z)$의 극을 분석하여, $\alpha \to 1^+$일 때 단위 원의 한계 호에 균일하게 분포하는 렌티큘러 극을 식별한다.
• 극과 Mahler 측도 $M(\alpha)$의 하한 $M_r(\alpha)$에 대해 Poincaré 점근 전개를 적용하여, 동적 차수 $\text{dyg}(\alpha)$의 함수로 표현한다.
• 제타 함수 $\zeta_\alpha(z)$와 관련된 파리 상한 함수 $f_\alpha(z)$를 사용하여, $M(\alpha)$를 균일하게 아래로부터 유계화하는 연속적인 하한 $M_r(\alpha)$를 유도한다.
• 근 $z_{j,n}$의 전이 영역 분석을 적용하여 복소 평면을 각도 영역으로 나누며, $\text{arg}(z) \asymp \frac{2\pi \log n}{n}$ 및 $\text{arg}(z) \asymp \frac{2\pi \sqrt{=\log n \log \log n}}{n}$ 기반으로 하며, 수열 $u_n, v_n$을 통해 정밀한 점근 제어를 한다.
• 실수 $\beta > 1$에서 복소수 $\alpha$에 대해 $|\alpha| > 1$로 확장하며, 동적 차수 $\text{dyg}(\alpha) := \text{dyg}(|\alpha|)$를 통해 복소수 경우를 실수 경우로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 비순환 대수적 정수에 대해 Mahler 측도에 대한 보편적인 양의 하한이 존재하는가?
• RQ2 살렘 수의 집합은 양의 하한을 가지며, 그 하한은 무엇인가?
• RQ3 동적 차수가 무한으로 갈수록, 작은 Mahler 측도를 가진 대수적 정수의 공액수 갈루아 궤도 측도가 단위 원 위에서 등분포하는가?
• RQ4 $\alpha \to 1^+$일 때, Rényi-Parry 제타 함수 $\zeta_\alpha(z)$의 극의 정밀한 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ5 $n \to \infty$일 때, 삼항식 $G_n(z) = -1 + z + z^n$의 근들이 복소 평면에서 어떻게 각도적으로 분포하는가?

주요 결과

• 레이머의 추측이 참임을 증명하며, 모든 비순환 대수적 정수 $\alpha$에 대해 $M(\alpha) \geq 1 + c$를 만족하는 보편적인 하한이 존재함을 보이며, $c > 0$는 효과적으로 계산 가능하다.
• 실린젤-차센하우젠의 추측이 참임을 증명하며, $\pm1$이 아닌 비영이면서 전부 실수인 대수적 수의 Weil 높이에 대해 새로운 하한을 도출하며, 도브로폴스키와 보우티에르의 결과를 향상시킨다.
• 현재 알려진 가장 작은 살렘 수는 $\theta^{-1}_{31} \approx 1.08545$ 이하로 떨어지지 않으며, 이는 삼항식 $z^{31} - z^{30} - 1$의 주근이다. 이 값은 살렘 수 집합의 하한으로 추측된다.
• Mahler 측도가 가장 작은 피소트 수 이하이고 동적 차수가 무한으로 갈수록, 그 공액수의 갈루아 궤도 측도가 단위 원 $|z| = 1$ 위의 정규화된 Haar 측도로 약한 수렴함을 보인다.
• Mahler 측도 $M(\alpha)$의 하한 $M_r(\alpha)$는 연속적이고 렌티큘러이며, $\alpha \to 1^+$일 때 $\zeta_\alpha(z)$의 극이 단위 원의 한계 호에 등분포함으로써 유도됨을 보였다.
• 모든 $\beta > 1$에 대해 $\beta$가 1에 가까울 때 동적 차수 $\text{dyg}(\beta)$의 점근 전개를 유도하며, $$\text{dyg}(\beta) = -\frac{\log(\beta - 1)}{\beta - 1} \left(1 + O\left(\left(\frac{\log(-\log(\beta - 1))}{\log(\beta - 1)}\right)^2\right)\right)$$ 로 표현되며, $[\theta^{-1}_n, \theta^{-1}_{n-1})$ 구간 내의 $\beta$에 대해 명시적인 차수 제약 조건이 존재한다.