[논문 리뷰] A QPTAS for maximum weight independent set of polygons with polylogarithmically many vertices

Anna Adamaszek, Andreas Wiese|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 05.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 26인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 각 다각형의 꼭짓점 수가 다항로그 수준 이하일 때 최대 무게 독립 다각형 집합(MWISP) 문제에 대해 준다항시간 근사법(QPTAS)을 제안한다. 기하 근사 프레임워크를 확장하여 문제를 삼각형으로 환원하고, 임의의 다각형 각도를 다룰 수 있는 새로운 평면 분할 기법을 도입함으로써, 시간 2^{poly(log n, 1/ε)} 내에 (1 + ε)-근사해를 달성한다.

ABSTRACT

The Maximum Weight Independent Set of Polygons (MWISP) problem is a fundamental problem in computational geometry. Given a set of weighted polygons in the two-dimensional plane, the goal is to find a set of pairwise non-overlapping polygons with maximum total weight. Due to its wide range of applications and connections to other problems, the MWISP problem and its special cases have been extensively studied both in the approximation algorithms and the computational geometry community. Despite a lot of research, its general case is not well-understood yet. Currently the best known polynomial time algorithm achieves an approximation ratio of ne, and it is not even clear whether the problem is APX-hard. We present a (1 + e)-approximation algorithm, assuming that each polygon in the input has at most a polylogarithmic number of vertices. Our algorithm has quasi-polynomial running time, i.e., it runs in time 2poly(log n, 1/e). In particular, our result implies that for this setting the problem is not APX-hard, unless NP ⊆ DTIME(2poly(log n)).We use a recently introduced framework for approximating maximum weight independent set in geometric intersection graphs. The framework has been used to construct a QPTAS in the much simpler case of axis-parallel rectangles. We extend it in two ways, to adapt it to our much more general setting. First, we show that its technical core can be reduced to the case when all input polygons are triangles. Secondly, we replace its key technical ingredient which is a method to partition the plane using only few edges such that the objects stemming from the optimal solution are evenly distributed among the resulting faces and each object is intersected only a few times. Our new procedure for this task is no more complicated than the original one and, importantly, it can handle the difficulties arising from the arbitrary angles of the input polygons. Note that already this obstacle makes the known analysis for the above framework fail. Also, in general it is not well understood how to handle this difficulty by efficient approximation algorithms.

연구 동기 및 목표

• 각 다각형의 꼭짓점 수가 다항로그 수준일 때 최대 무게 독립 다각형 집합(MWISP) 문제에 대해 효율적인 근사 알고리즘을 개발하는 것.
• 이전에 축에 평행한 직사각형에만 효과적이었던 기하 근사 프레임워크를 축에 평행하지 않은 임의의 각도를 가진 다각형과 임의의 형태의 다각형으로 확장하는 것.
• 이전 분석 및 분할 기법을 무효화하는 비균일한 다각형 방향성 문제에 대처하는 것.
• 제한된 꼭짓점 수를 가진 MWISP 문제가 NP ⊆ DTIME(2^{poly(log n)})이 아니면 APX-난이도가 아니라는 것을 보여주는 강력한 근사 불가능성 한계를 도출하는 것.
• 최적 해의 다각형이 면에 균일하게 분포되도록 하되, 변의 교차 수를 최소화하는 평면 분할 절차를 설계하는 것, 특히 복잡한 각도를 가진 경우에도 적용 가능하도록 하는 것.

제안 방법

• 일반 MWISP 문제를 근사 보존 보장이 유지되는 특수 케이스인 모든 입력 다각형이 삼각형인 경우로 환원하는 것.
• 기존 프레임워크의 핵심 평면 분할 기법을 새로운 기하 분해 방법을 도입하여 임의의 각도를 가진 다각형에도 적용 가능하도록 조정하는 것.
• 최적 해의 각 다각형이 오직 상수 개의 면과만 교차하도록, 적은 수의 변을 사용하여 평면의 분할을 구성하는 것.
• 비직각 다각형의 추가 복잡성에도 불구하고 기존 프레임워크의 효율성과 근사 성질을 유지하는 새로운 분할 기법을 확보하는 것.
• 얻어진 분할된 면들에 대해 동적 프로그래밍을 적용하여 준다항시간 내에 (1 + ε)-근사해를 계산하는 것.
• 기존 방법이 임의의 각도 다각형에 적용될 때 실패하는 경우를 피할 수 있도록 새로운 분할 절차가 성공적으로 작동함을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하 독립 집합 문제에 대한 QPTAS 프레임워크를 축에 평행한 직사각형을 넘어서, 꼭짓점 수가 유한한 임의의 다각형으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 입력 다각형이 임의의 각도와 비직사각형 형태를 가질 경우 근사 보존 보장을 유지하기 위해 어떤 수정이 필요한가?
• RQ3 다항로그 수준의 꼭짓점 수를 가진 MWISP 문제는 APX-난이도인가, 아니면 타당한 복잡도 가정 하에 QPTAS를 갖는가?
• RQ4 임의의 다각형에 대해 교차 수가 낮고 최적 해 객체가 면에 균일하게 분포되도록 보장하는 평면 분할 방법을 설계할 수 있는가?
• RQ5 임의의 다각형 각도를 처리하는 데서 기존 기하 근사 프레임워크의 분석 및 효율성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 다항로그 수준의 꼭짓점 수를 가진 MWISP 문제에 대해 (1 + ε)-근사해를 준다항시간 2^{poly(log n, 1/ε)} 내에 제공하는 알고리즘을 제시한다.
• 알고리즘은 일반 MWISP 문제를 삼각형 케이스로 환원함으로써 전문화된 기하 기법의 적용을 가능하게 한다.
• 임의의 다각형 각도를 다룰 수 있고 각 최적 다각형이 오직 O(1)개의 면과만 교차하도록 보장하는 새로운 평면 분할 방법을 도입한다.
• 프레임워크의 핵심 기술적 구성 요소가 근사 품질을 저하시키지 않고 비직사각형 다각형에도 적용 가능하도록 적응된다는 점.
• 결과적으로 제한된 꼭짓점 수를 가진 MWISP 문제가 NP ⊆ DTIME(2^{poly(log n)})이 아니면 APX-난이도가 아니라는 강력한 복잡도 이론적 함의를 유도한다.
• 기존 방법이 임의의 방향을 가진 다각형에 적용될 때 무너지는 장애 요소를 성공적으로 극복한 분석이 수행되었다.