[논문 리뷰] A Quadratic Assignment Formulation of the Graph Edit Distance

Sébastien Bougleux, Luc Brun외 4명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 23.

Graph Theory and Algorithms참고 문헌 32인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 노드 치환, 제거, 삽입을 인코딩하는 ϵ-할당 행렬을 도입함으로써 그래프 편집 거리(GED)를 이차할당문제(QAP)로 공식화한다. 주요 기여는 ϵ-할당 행렬의 동치류와 소스 노드 부분집합에서 타겟 노드로의 단사 사상 사이의 일대일 대응을 설정한 것으로, 이는 QAP 최적화를 통한 정확한 GED 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Computing efficiently a robust measure of similarity or dissimilarity between graphs is a major challenge in Pattern Recognition. The Graph Edit Distance (GED) is a flexible measure of dissimilarity between graphs which arises in error-tolerant graph matching. It is defined from an optimal sequence of edit operations (edit path) transforming one graph into an other. Unfortunately, the exact computation of this measure is NP-hard. In the last decade, several approaches have been proposed to approximate the GED in polynomial time, mainly by solving linear programming problems. Among them, the bipartite GED has received much attention. It is deduced from a linear sum assignment of the nodes of the two graphs, which can be efficiently computed by Hungarian-type algorithms. However, edit operations on nodes and edges are not handled simultaneously, which limits the accuracy of the approximation. To overcome this limitation, we propose to extend the linear assignment model to a quadratic one, for directed or undirected graphs having labelized nodes and edges. This is realized through the definition of a family of edit paths induced by assignments between nodes. We formally show that the GED, restricted to the paths in this family, is equivalent to a quadratic assignment problem. Since this problem is NP-hard, we propose to compute an approximate solution by an adaptation of the Integer Projected Fixed Point method. Experiments show that the proposed approach is generally able to reach a more accurate approximation of the optimal GED than the bipartite GED, with a computational cost that is still affordable for graphs of non trivial sizes.

연구 동기 및 목표

• 그래프 편집 거리를 이차할당프로그래밍을 사용하여 수학적으로 공식화하는 것.
• 모든 가능한 편집 연산(치환, 제거, 삽입)을 인코딩하는 새로운 행렬 클래스인 ϵ-할당 행렬을 정의하는 것.
• ϵ-할당 행렬의 동치류와 소스 노드 부분집합에서 타겟 노드로의 단사 함수 사이의 일대일 대응을 설정하는 것.
• 명확한 조합 최적화 프레임워크를 통해 정확한 그래프 편집 거리 계산을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• X_sub(치환), X_rem(제거), X_ins(삽입), X_ϵ(순열 제약 조건을 위한 보조)로 구성된 (n+m)×(m+n) 크기의 ϵ-할당 행렬을 도입한다.
• X_rem 및 X_ins가 대각행렬이 되도록 제약 조건을 부과함으로써, 동시에 하나의 노드만 제거하거나 삽입할 수 있도록 보장한다.
• 치환, 제거, 삽입 블록이 동일한 행렬들 간의 동치 관계를 정의한다.
• 보조 행렬 X_ϵ를 사용하여 전체 행렬 X가 순열 행렬이 되도록 하여, 유효한 편집 경로에 필요한 구조를 유지한다.
• ϵ-할당 행렬의 동치류와 소스 노드 부분집합에서 타겟 노드로의 단사 함수 사이의 전단사 사상 수립.
• 순열 행렬의 구조를 활용하여 유효한 편집 순서를 단사 사상으로 모델링하고, 정확한 QAP 기반 GED 계산을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프 편집 거리는 어떻게 이차할당문제로 공식화될 수 있는가?
• RQ2 모든 가능한 편집 연산(치환, 제거, 삽입)을 인코딩하면서도 유효성을 유지하기 위해 어떤 행렬 구조가 필요한가?
• RQ3 유효한 편집 경로와 노드 집합 간의 단사 사상 사이에 일대일 대응이 존재하는가?
• RQ4 ϵ-할당 행렬의 동치성을 어떻게 정의하여 검색 공간의 부정확성을 줄일 수 있는가?
• RQ5 GED의 QAP 공식화는 편집 경로와 증명된 대응 관계를 가진 잘 정의된 조합 구조에 기반할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 ϵ-할당 행렬의 집합 An,m은 순열 행렬 제약 조건과 특정 블록 구조를 만족하는 (n+m)×(m+n) 행렬로 정의된다.
• An,m 상의 동치 관계 ∼는 치환, 제거, 삽입 블록이 동일한 행렬들을 식별하며, 이를 통해 집합 An,m∼ 가 형성된다.
• An,m∼ 와 X={1,…,n}의 부분집합에서 Y={1,…,m}으로의 단사 함수 집합 사이에 일대일 대응이 존재한다.
• 순열 행렬 제약 조건으로 인해 φ_X 는 단사적임이 보장되어, 두 개 이상의 소스 노드가 동일한 타겟 노드로 매핑되는 것을 방지한다.
• 이 공식화는 단사 함수 표현을 통해 모든 유효한 편집 경로를 포괄함을 보장한다.
• QAP 공식화는 정확한 그래프 편집 거리 계산을 위한 엄밀한 대수적 프레임워크를 제공한다.