[논문 리뷰] A Riemann--Hilbert correspondence for infinity local systems

Jonathan Block, Aaron Smith|arXiv (Cornell University)|2009. 08. 20.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 25인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 컴act 다양체 $M$ 위의 평탄한 $\bbZ$-중복 $A^0$-모듈의 dg-카테고리와 $M$ 위의 무한국지계의 dg-카테고리 사이에 $A_\infty$-준동치를 수립한다. 이는 고차 호모토피 유형을 통해 고차 호몰로지 운반을 통한 고전적 Riemann–Hilbert 대응을 일반화한다. 핵심 결과는 반복 적분과 Dold–Kan 대응을 이용한 완전 충실하고 본질적으로 전성인 대응이다.

ABSTRACT

We describe an $A_\infty$-quasi-equivalence of dg-categories between the first authors' $\mathcal{P}_{\mathcal{A}}$ ---the category of category of prefect $A^0$-modules with flat $\Z$-connection, corresponding to the de Rham dga $\mathcal{A}$ of a compact manifold $M$--- and the dg-category of \emph{infinity-local systems} on $M$ ---homotopy coherent representations of the smooth singular simplicial set of $M$, $\Pinf$. We understand this as a generalization of the Riemann--Hilbert correspondence to $\Z$-connections ($\Z$-graded superconnections in some circles). In one formulation an infinity-local system is simplicial map between the simplicial sets $π_{\infty}M$ and a repackaging of the dg-category of cochain complexes by virtue of the simplicial nerve and Dold-Kan. This theory makes crucial use of Igusa's notion of higher holonomy transport for $\Z$-connections which is a derivative of Chen's main idea of generalized holonomy.

연구 동기 및 목표

• 고전적 Riemann–Hilbert 대응을 $π_1(M)$를 초월해 전체 호모토피 유형 $π_∞ M$으로 확장하기 위해 고차 구조를 사용한다.
• 무한국지계의 개념을 $π_∞ M$의 호모토피 일관 표현으로서 dg-카테고리의 코체인 복합체에서 정의하고 체계화한다.
• 고차 호몰로지 운반을 통해 평탄한 $\bbZ$-중복 연결에서 무한국지계로의 Riemann–Hilbert 함자를 $ρρ$로 정의한다.
• 이 함자가 $A_\infty$-준동치임을 증명하여 두 dg-카테고리 사이의 유도 동치를 확립한다.
• 역 방향이 층 이론적 방법과 Illusie의 정리에 의해 구성될 수 있음을 보인다.

제안 방법

• 무한국지계를 $π_∞ M$의 매끄러운 단체적 복합체에서 $\bbR$-계수 코체인 복합체의 dg-카테고리의 단체적 뉴스로 가는 단체적 사상으로 정의하여, 호모토피 일관 표현을 코딩한다.
• Chen의 반복 적분에서 유도된 Igusa의 고차 호몰로지 운반을 사용하여 평탄한 $\bbZ$-중복 연결에서 무한국지계로의 Riemann–Hilbert 함자 $ρρ$를 정의한다.
• 각 평탄한 $\bbZ$-연결에 대해 경로 공간 위의 형식의 가중치를 할당하고, 이를 사이클을 따라 적분하여 체인 사상을 얻는 방식으로 함자 $ρρ$를 구성한다.
• 복합체의 층 $σρ^{ℤ}(π_∞ U)(\bbR, F)$를 무한국지계 $(F,f)$에 대해 구성함으로써 준본질적 전성성을 증명한다. 이 복합체는 $C^∞$-함수와 텐서곱한 de Rham 복합체와 준동치이다.
• Illusie의 정리를 적용하여 $ρ_{ℤ}^0$-모듈의 완전 복합체를 구성함으로써 $ρρ(F)$의 영성분과 준동치가 되도록 한다. 이후 [4]의 논증을 활용해 $ρ_{ℤ}^0$ 내의 준동치 대상 구축한다.
• 다른 분해 $d_M = d_{M/B} + δ_B - \text{terms involving } S \text{ and } Ω$를 사용하여, 예를 들어 Hopf fibration와 같은 피브레이션에서 평탄한 $\bbZ$-중복 연결을 코hesive 모듈로 모델링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 Riemann–Hilbert 대응은 $π_1(M)$를 초월해 $π_∞ M$의 고차 호모토피 유형까지 일반화될 수 있는가?
• RQ2 다양체의 전체 $π_∞ M$ 구조를 포괄하는 데 적합한 국소계의 올바른 개념은 무엇인가?
• RQ3 반복 적분과 단체적 방법을 사용하여 $\bbZ$-중복 연결의 고차 호몰로지 운반을 어떻게 체계화할 수 있는가?
• RQ4 평탄한 $\bbZ$-중복 연결의 dg-카테고리와 무한국지계의 dg-카테고리 사이에 $A_\infty$-준동치가 존재하는가?
• RQ5 Riemann–Hilbert 함자의 역은 층 이론적 또는 해소 이론적 방법으로 구성될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 평탄한 $\bbZ$-중복 연결을 가진 완전한 $\bbZ$-중복 $A^0$-모듈의 dg-카테고리 $ρ_{ℤ}^0$과 $M$ 위의 무한국지계의 dg-카테고리 $ρ^{ℤ}(π_∞ M)$ 사이에 $A_\infty$-준동치를 구축한다.
• Riemann–Hilbert 함자 $ρρ$는 고차 호몰로지 운반을 통해 정의되며, 경로 공간 위의 형식의 사슬을 사이클을 따라 적분함으로써 실현되며, 평탄성은 호모토피 일관성을 보장한다.
• 모든 무한국지계가 $C^∞$-함수와 텐서곱한 de Rham 복합체와 준동치인 복합체의 층을 구성함으로써 준본질적 전성성이 입증된다.
• Illusie의 정리를 사용하여 $ρρ(F)$의 영성분과 준동치인 $ρ_{ℤ}^0$-모듈의 완전 복합체를 구성하고, [4]의 논증을 활용해 $ρ_{ℤ}^0$ 내의 준동치 대상을 구축할 수 있다.
• Hopf fibration는 비자명한 고차 연결 성분을 가진 준코hesive 모듈의 구체적 예를 제공하며, [4]의 정리 3.2.7에 의해 진정한 코hesive 모듈의 존재가 보장된다.
• 이 대응은 복소다양체 $Σ$ 위의 코herent sheaf의 유도 범주와 같은 임의의 dg-카테고리로의 계수로 확장 가능하며, $ρ_{\bbZ}^{B\rtimes A(X)} \to ρ^{\bbZ}_{\infty}^B(X)$를 통해 이루어진다.