[논문 리뷰] A robust multi-dimensional sparse Fourier transform in the continuous setting.

Yaonan Jin, Daogao Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 13.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 58인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다차원 연속 희소 푸리에 변환을 위한 랜덤화되고 비적응형 알고리즘을 제안하며, 하위선형 샘플링 및 시간 복잡도를 가능하게 한다. 새로운 필터 설계, 순열-해싱 기법, 고차원 연속 신호에 특화된 주파수 국소화 기법을 도입함으로써 이전의 일차원 연속 방법에 비해 향상된 샘플링 지속 시간 경계를 달성한다.

ABSTRACT

Sparse Fourier transform (Sparse FT) is the problem of learning an unknown signal, whose frequency spectrum is dominated by a small amount of $k$ individual frequencies, through fast algorithms that use as few samples as possible in the time domain. The last two decades have seen an extensive study on such problems, either in the one-/multi-dimensional discrete setting [Hassanieh, Indyk, Katabi, and Price STOC'12; Kapralov STOC'16] or in the one-dimensional continuous setting [Price and Song FOCS'15]. Despite this rich literature, the most general multi-dimensional continuous case remains mysterious. This paper initiates the study on the Sparse FT problem in the multi-dimensional continuous setting. Our main result is a randomized non-adaptive algorithm that uses sublinear samples and runs in sublinear time. In particular, the sample duration bound required by our algorithm gives a non-trivial improvement over [Price and Song FOCS'15], which studies the same problem in the one-dimensional continuous setting. The dimensionality in the continuous setting, different from both the discrete cases and the one-dimensional continuous case, turns out to incur many new challenges. To overcome these issues, we develop a number of new techniques for constructing the filter functions, designing the permutation-then-hashing schemes, sampling the Fourier measurements, and locating the frequencies. We believe these techniques can find their applications in the future studies on the Sparse FT problem.

연구 동기 및 목표

• 다차원 연속 희소 푸리에 변환 문제를 위한 효율적인 알고리즘이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 최소한의 시간 도메인 샘플을 사용하는 비적응형, 하위선형 시간 알고리즘을 개발하기 위해.
• 이산 또는 일차원 경우와는 다를 바 있는, 연속 설정에서 차원 증가로 인해 발생하는 새로운 과제를 극복하기 위해.
• 기존의 일차원 연속 희소 FT 방법에서의 샘플링 지속 시간 경계를 향상시키기 위해.
• 미래의 연속 다차원 희소 푸리에 변환 연구에 적용 가능한 기초 기법을 수립하기 위해.

제안 방법

• 다차원 연속 신호에서 주요 주파수를 분리하기 위해 새로운 필터 함수를 설계한다.
• 고에너지 주파수 성분을 효율적으로 매핑하고 탐지하기 위해 순열-해싱 기법을 개발한다.
• 시간 도메인 샘플 수를 줄이기 위해 구조화되고 랜덤화된 샘플링 전략을 사용하여 푸리에 측정값을 샘플링한다.
• 노이즈가 있거나 희소한 측정값으로부터 k개의 주요 주파수를 정확하게 식별하기 위해 주파수 국소화 절차를 활용한다.
• 이러한 구성 요소들을 조합하여 하위선형 시간 및 샘플링 복잡도로 작동하는 비적응형 알고리즘을 구성한다.
• 푸리에 집중도와 스펙트럼 희소성의 수학적 분석을 활용하여 알고리즘의 강건성과 정확성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다차원 연속 희소 푸리에 변환을 위한 하위선형 시간, 비적응형 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 연속 설정에서의 차원 증가는 이산 또는 일차원 경우에서는 존재하지 않는 고유한 과제를 어떻게 유도하는가?
• RQ3 기존의 일차원 연속 방법에 비해 향상된 샘플링 지속 시간 경계를 달성할 수 있는 샘플링 및 필터링 전략은 무엇인가?
• RQ4 최소한의 시간 도메인 샘플을 사용하여 고차원 연속 신호에서 강건한 주파수 국소화를 달성할 수 있는가?
• RQ5 다차원 연속 신호의 스펙트럼 구조를 다루기 위해 어떤 새로운 알고리즘 기법이 필요한가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 다차원 연속 희소 푸리에 변환에 하위선형 시간 및 샘플링 복잡도를 달성한다.
• Price와 Song (FOCS'15)의 일차원 연속 방법에 비해 샘플링 지속 시간 경계에서 비트리비얼한 향상을 제공한다.
• 알고리즘은 비적응형이므로, 피드백 없이 사전에 모든 샘플링 결정이 이루어진다.
• 다차원 연속 스펙트럼의 증가된 복잡성에 대응하기 위해 필터 설계 및 순열-해싱 기법을 새롭게 도입한다.
• 최소한의 시간 도메인 샘플을 사용하여 k개의 주요 주파수를 높은 확률로 정확하게 복원할 수 있다.
• 이 프레임워크는 향후 연속 다차원 희소 푸리에 분석 연구의 기초를 마련한다.