[논문 리뷰] A short survey on Lyapunov dimension for finite dimensional dynamical systems in Euclidean space

Г. А. Леонов, Н. В. Кузнецов|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 13.

Chaos control and synchronization참고 문헌 80인용 수 3

한 줄 요약

이 종합 논문은 유클리드 공간 내 유한 차원 동역학계에 대한 리아푸노프 차원 이론을 철저하고 접근하기 쉬운 방식으로 종합적으로 다루며, 카프만-요르크, 두아디-오스테르레, 콰지타 등과 레오노프의 기초적인 연구를 연결한다. 직접 리아푸노프 방법을 사용한 리아푸노프 차원 추정을 위한 분석적 방법을 제시하고, 로렌츠 및 숨겨진 분기점을 가진 일반화된 로렌츠 시스템을 포함한 잘 알려진 시스템에 대해 정확한 공식을 유도하며, MATLAB을 이용한 수치 계산을 통해 결과를 검증한다.

ABSTRACT

Nowadays there are a number of surveys and theoretical works devoted to the Lyapunov exponents and Lyapunov dimension, however most of them are devoted to infinite dimensional systems or rely on special ergodic properties of the system. At the same time the provided illustrative examples are often finite dimensional systems and the rigorous proof of their ergodic properties can be a difficult task. Also the Lyapunov exponents and Lyapunov dimension have become so widespread and common that they are often used without references to the rigorous definitions or pioneering works. The survey is devoted to the finite dimensional dynamical systems in Euclidean space and its aim is to explain, in a simple but rigorous way, the connection between the key works in the area: by Kaplan and Yorke (the concept of Lyapunov dimension, 1979), Douady and Oesterle (estimation of Hausdorff dimension via the Lyapunov dimension of maps, 1980), Constantin, Eden, Foias, and Temam (estimation of Hausdorff dimension via the Lyapunov exponents and dimension of dynamical systems, 1985-90), Leonov (estimation of the Lyapunov dimension via the direct Lyapunov method, 1991), and numerical methods for the computation of Lyapunov exponents and Lyapunov dimension. In this survey a concise overview of the classical results is presented, various definitions of Lyapunov exponents and Lyapunov dimension are discussed. An effective analytical method for the estimation of Lyapunov dimension is presented, its application to the self-excited and hidden attractors of well-known dynamical systems is demonstrated, and analytical formulas of exact Lyapunov dimension are obtained.

연구 동기 및 목표

• 유한 차원 시스템에 대해 유클리드 공간 내 리아푸노프 차원과 리아푸노프 지수의 이론적 기초를 명확히 하고 통합한다.
• 카프만-요르크(1979), 두아디-오스테르레(1980), 콘스탄틴 등(1985–90), 레오노프(1991)의 핵심 기여를 일관된 프레임워크 안에서 연결한다.
• 직접 리아푸노프 방법을 활용한 리아푸노프 차원 추정을 위한 효과적인 분석적 방법을 제시한다.
• 자기 자극 분기점과 숨겨진 분기점을 가진 주요 동역학계에서 정확한 리아푸노프 차원에 대한 분석적 공식을 도출한다.
• 유한 시간 리아푸노프 지수와 리아푸노프 차원을 계산하기 위한 실용적인 MATLAB 구현을 제공하며, 기준 시스템에서 검증한다.

제안 방법

• 매핑의 특이값 함수와 야코비안 행렬을 통해 하우스도르프 차원과 리아푸노프 차원 간의 연결 고리를 설정한다.
• 두아디–오스테르레 정리를 적용하여, 임의의 유한 시간 리아푸노프 지수에 대해 카프만–요르크 공식을 적용하는 데 이론적 근거를 제공한다.
• 직접 리아푸노프 방법을 사용해 리아푸노프 차원의 분석적 추정을 도출하며, 에르고딕 이론에 의존하지 않는다.
• 기본 행렬의 변형 방정식과 QR/특이값 분해(SVD)를 통해 MATLAB에 구현된 수치 알고리즘을 이용해 유한 시간 리아푸노프 지수를 계산한다.
• 제품 SVD 알고리즘을 사용해 기본 행렬을 반복적으로 갱신하고, 특이값의 로그 성장률에서 리아푸노프 지수를 계산한다.
• 정렬된 유한 시간 리아푸노프 지수에 카프만–요르크 공식을 적용하여 리아푸노프 차원을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 차원 동역학계에 대해 리아푸노프 차원은 어떻게 엄밀하게 정의되고 하우스도르프 차원과 연결될 수 있는가?
• RQ2 유한 시간 리아푸노프 지수에 대해 카프만–요르크 공식을 적용하는 데 이론적 근거는 무엇인가?
• RQ3 로렌츠 및 일반화된 로렌츠 시스템과 같이 잘 알려진 시스템에 대해 정확한 리아푸노프 차원에 대한 분석적 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 직접 리아푸노프 방법은 에르고딕 성질이나 시스템의 통계적 성질을 가정하지 않고 리아푸노프 차원을 어떻게 추정할 수 있는가?
• RQ5 MATLAB 기반 알고리즘을 사용한 리아푸노프 지수와 차원의 수치 계산의 정확성과 신뢰성은 어떠한가?

주요 결과

• 이 종합 논문은 리아푸노프 차원이 유한 차원 시스템의 분기점에 대한 하우스도르프 차원의 상한을 제공함을 밝혔다.
• 매개수 r=700, σ=4, b=1, a=0.0052인 일반화된 로렌츠 시스템의 경우 리아푸노프 지수는 약 1.873, 0.000, -11.873로 계산되며, 이에 따라 리아푸노프 차원은 2.158이 된다.
• 헨온 맵, 로렌츠 시스템, 글루크호프스키-돌잔스키 시스템, 티간 및 양 시스템, 심즈우-모리오카 시스템에 대해 정확한 리아푸노프 차원에 대한 분석적 공식이 도출되었다.
• 직접 리아푸노프 방법은 시스템의 에르고딕성 또는 통계적 성질을 가정하지 않더라도 리아푸노프 차원을 엄밀하게 추정할 수 있음을 보여준다.
• MATLAB에 구현된 수치 알고리즘이 성공적으로 유한 시간 리아푸노프 지수와 리아푸노프 차원을 계산하였으며, 장기간의 통합 시간 동안 수렴이 확인되었다.
• 이 방법은 리아푸노프 차원이 미분동형사상에 대해 불변임을 확인하여, 이를 강력한 기하학적 불변량으로 사용할 수 있음을 뒷받침한다.