[논문 리뷰] A unified approach to well-posedness of type-I backward stochastic Volterra integral equations

Camilo Hernández, Dylan Possamaï|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 23.

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance참고 문헌 58인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 다차원 제1형 역확률 볼테라 적분 방정식(BSVIE)의 잘 정의됨을 보장하는 통합 프레임워크를 제안한다. 이는 원래 BSVIE를 표준 역확률 SDE의 무한차원 시스템으로 변환함으로써 이루어지며, 핵심 기여는 BSVIE의 해와 이 확장된 시스템의 해 사이의 등가성과, 하미르톤-자코비-벨만형 PDE를 통한 표현 공식을 확립한 것이다. 이는 시간에 따라 일관되지 않은 확률적 제어 문제에 대해 게임 이론적 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We study a novel general class of multidimensional type-I backward stochastic Volterra integral equations. Toward this goal, we introduce an infinite dimensional system of standard backward SDEs and establish its well-posedness, and we show that it is equivalent to that of a type-I backward stochastic Volterra integral equation. We also establish a representation formula in terms of non-linear semilinear partial differential equation of Hamilton-Jacobi-Bellman type. As an application, we consider the study of time-inconsistent stochastic control from a game-theoretic point of view. We show the equivalence of two current approaches to this problem from both a probabilistic and an analytic point of view.

연구 동기 및 목표

• 다차원 제1형 역확률 볼테라 적분 방정식(BSVIE)의 잘 정의됨을 보장하는 일반적이고 통합적인 방법을 개발하는 것.
• 제1형 BSVIE와 표준 역확률 SDE의 무한차원 시스템 사이의 등가성을 확립하는 것.
• 하미르톤-자코비-벨만형 비선형 반선형 PDE를 통해 해를 표현하는 공식을 유도하는 것.
• 이 프레임워크를 시간에 따라 일관되지 않은 확률적 제어 문제에 게임 이론적 관점에서 적용하는 것.
• 시간에 따라 일관되지 않은 제어 문제에서 확률적 해와 해석적 해 사이의 등가성을 규명하는 것.

제안 방법

• 저자는 원래의 제1형 BSVIE와 등가인 표준 역확률 SDE의 무한차원 시스템을 도입한다.
• 생성자와 종단 조건에 대해 적절한 적분 가능성 및 리프시츠 조건을 만족할 경우, 이 무한차원 시스템의 잘 정의됨을 증명한다.
• 적응 과정과 확률적 적분을 포함한 변환을 통해 BSVIE의 해가 무한차원 SDE 시스템의 해와 등가임을 보인다.
• 검증 추론을 통해 해를 하미르톤-자코비-벨만형 PDE와 연결함으로써 표현 공식을 유도한다.
• 게임 이론적 관점에서 시간에 따라 일관되지 않은 제어 문제에 이 프레임워크를 적용하며, 확률적 평형 전략과 HJB 방정식의 해석적 해 사이의 등가성을 보여준다.
• 존속성 사상에 의한 증명을 통해 존재성과 유일성을 확보하며, 지수 가중치와 그론발라 타입의 추정을 통해 해의 차이의 성장률을 통제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다차원 제1형 BSVIE의 잘 정의됨을 보장하는 통합적 접근을 개발할 수 있는가?
• RQ2 제1형 BSVIE의 해 구조를 포괄하는 표준 역확률 SDE의 무한차원 시스템이 존재하는가?
• RQ3 제1형 BSVIE의 해는 어떻게 하미르톤-자코비-벨만형 비선형 PDE로 표현할 수 있는가?
• RQ4 확률적 접근와 해석적 접근 사이의 연결 고리는 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크 내에서 게임 이론적 평형과 HJB 방정식의 해 사이의 등가성을 엄밀히 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 표준 적분 가능성 및 리프시츠 조건을 만족할 경우, 표준 역확률 SDE의 무한차원 시스템은 잘 정의되어 있으며, 해의 존재성과 유일성을 보장한다.
• 제1형 BSVIE의 해는 무한차원 SDE 시스템의 해와 등가이며, 이는 BSVIE 해의 새로운 특성화를 제공한다.
• 해를 하미르톤-자코비-벨만형 비선형 반선형 PDE와 연결하는 표현 공식이 도출되었다.
• 이 프레임워크를 통해 시간에 따라 일관되지 않은 확률적 제어 문제에서 확률적 접근와 해석적 접근 사이의 엄밀한 등가성을 가능하게 하였다.
• 지수 가중치를 사용한 존속성 사상은 유일성과 안정성을 보장하며, 수축 상수는 $ C/c $로 유계이며, $ c $가 클수록 작아진다.
• 대각선 과정 $ v_t^t $는 $ \mathbb{H}^2 $에 속할 필요가 없으며, 이는 BSVIE 분석에서 흔한 기술적 가정을 완화한다.