[논문 리뷰] A universal formula for the entanglement asymmetry of matrix product states

Luca Capizzi, Vittorio Vitale|arXiv (Cornell University)|2023. 10. 03.

Quantum Information and CryptographyComputer Science인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 열역학적 한계에서 유한한 결합 차수를 가진 행렬 곱 상태(MPS)의 얽힘 비대칭성에 대한 보편적인 공식을 수립한다. 이는 레니 엔트로피 비대칭성이 오직 대칭성 깨짐 패tern $G \to H$에 의존하며, 미세 구조적 세부 사항과는 무관하다는 것을 보여준다. 이산 군의 경우 $\Delta S_n \simeq \log(|G|/|H|)$이고, 컴act 리 군의 경우 $\Delta S_n \simeq \frac{1}{2}(\dim\mathfrak{g} - \dim\mathfrak{h})\log|A|$이다. 이는 XXZ 모델에 대한 iDMRG 시뮬레이션을 통해 수치적으로 확인되었다.

ABSTRACT

Symmetry breaking is a fundamental concept in understanding quantum phases of matter, studied so far mostly through the lens of local order parameters. Recently, a new entanglement-based probe of symmetry breaking has been introduced under the name of extit{entanglement asymmetry}, which has been employed to investigate the mechanism of dynamical symmetry restoration. Here, we provide a universal formula for the entanglement asymmetry of matrix product states with finite bond dimension, valid in the large volume limit. We show that the entanglement asymmetry of any compact -- discrete or continuous -- group depends only on the symmetry breaking pattern, and is not related to any other microscopic features.

연구 동기 및 목표

• 열역학적 한계에서 유한한 결합 차수를 가진 행렬 곱 상태(MPS)의 얽힘 비대칭성에 대한 보편적 공식을 수립하는 것.
• 레니 엔트로피 비대칭성이 오직 대칭성 깨짐 패턴 $G \to H$에 의해 결정되며, 상태의 미세 구조적 세부 사항과는 무관하다는 것을 증명하는 것.
• 이전에 제안된 유한 군에 대한 공식을 컴팩트 리 군, 즉 $U(1)$와 같은 연속 대칭성까지 확장하는 것.
• XXZ 스핀 사슬에서 무한 DMRG(iDMRG)를 사용한 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 예측을 검증하는 것.

제안 방법

• 군 작용을 사용하여 원래의 감소 밀도 행렬 $\rho_A$와 그 대칭화된 버전 $\tilde{\rho}_A$ 사이의 레니 엔트로피 차이로 얽힘 비대칭성을 정의한다.
• 컴팩트 리 군의 경우 하르 측도와 군 평균을 사용하여 $\tilde{\rho}_A$를 구성함으로써 $G$-불변성을 확보한다.
• 군의 특성 이론과 국소 MPS 텐서의 스펙트럼 성질을 통해 충전된 순간 $\text{Tr}(\tilde{\rho}_A^n)$을 유도한다.
• 크기 체적 극한에서, 유한 군의 경우 $\Delta S_n \simeq \log(|G|/|H|)$이고, 컴팩트 리 군의 경우 $\Delta S_n \simeq \frac{1}{2}(\dim\mathfrak{g} - \dim\mathfrak{h})\log|A|$임을 증명한다.
• iDMRG를 사용한 수치 시뮬레이션을 수행하여 $\Delta > 1$ 인 XXZ 모델의 반자성 상태에서 레니-2 얽힘 비대칭성 $\Delta S_2$를 계산하고, 예측된 점근적 값이 일치함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰 부분계에서 행렬 곱 상태의 얽힘 비대칭성은 미세 구조적 세부 사항과 무관하게 대칭성 깨짐 패턴 $G \to H$에 의존하는가?
• RQ2 유한 군에 대한 추측된 보편 공식 $\Delta S_n \simeq \log(|G|/|H|)$이 열역학적 한계에서 엄밀히 증명될 수 있는가?
• RQ3 연속적인 컴팩트 리 군의 경우 얽힘 비대칭성은 어떻게 스케일링되며, 리 대수 $\mathfrak{g}$와 $\mathfrak{h}$의 차원을 포함하는 보편적 형태를 따르는가?
• RQ4 예측된 보편적 스케일링이 실존하는 양자 스핀 사슬, 예를 들어 XXZ 모델에서 수치적으로 관측 가능한가?
• RQ5 임계 시스템이나 경계에 의해 유도된 대칭성 깨짐이 있는 경우 얽힘 비대칭성은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 유한 군의 경우, 행렬 곱 상태에서 큰 부분계의 레니 얽힘 비대칭성은 대칭성 깨짐 패턴 $G \to H$에 의해 보편적으로 결정되며, $\Delta S_n \simeq \log(|G|/|H|)$이다.
• 컴팩트 리 군의 경우, 얽힘 비대칭성은 $\Delta S_n \simeq \frac{1}{2}(\dim\mathfrak{g} - \dim\mathfrak{h})\log|A|$로 스케일링되며, 이는 보편적 스케일링 행동을 확인한다.
• XXZ 모델에 대한 수치 시뮬레이션에서 $\Delta > 1$ 인 경우 $\Delta S_2$가 $\log 2$로 수렴함을 확인하였으며, 이는 $|G|=4$, $|H|=2$ 일 때 예측된 값 $\log(|G|/|H|) = \log 2$ 와 일치하여 물리적 모델에서 공식의 타당성을 검증한다.
• 임계점 $\Delta = 1$ 근처에서는 수렴 속도가 느리며, 이는 상관 길이가 발산하고 동적 대칭성 복원이 일어나기 때문으로 기인된다.
• 유한한 결합 차수를 가진 이동 불변 MPS에 대해 결과는 강인하며, 이는 이전의 글로벌 쿼이크 동역학과 적분 가능 장 이론의 기저 상태에서의 관측 결과와도 호환된다.