[논문 리뷰] A Variational Formula for the Lyapunov Exponent of Brownian Motion in Stationary Ergodic Potential

Johannes Rueß|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 20.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비정적 비음수 잠재적에서 브라운 운동의 리아풀로프 지수에 대한 변분 공식을 수립하며, 주기적 경우에서 비콤팩트 영역으로 슈로더의 결과를 일반화한다. 주요 기여는 녹색 함수의 지수적 감쇠률을 특징짓는 변분 표현으로, 이는 랜덤 잠재적과 평균화된 잠재적 간의 비교를 가능하게 하며, 고정 자유 에너지에 대한 변분 공식을 도출한다.

ABSTRACT

We establish a variational formula for the exponential decay rate of the Green function of Brownian motion evolving in a random stationary and ergodic nonnegative potential. Such a variational formula is established by Schroeder in 'Green's Functions for the Schrödinger Operator with Periodic Potential', J. Funct. Anal. 77 (1988), for potentials on compact spaces and is generalised in the present article to a non-compact setting. We show exponential decay of the Green function implicitly. This formula for the Lyapunov exponent has several direct implications. It allows to compare the influence of a random potential to the influence of the averaged potential. It also leads to a variational expression for the quenched free energy.

연구 동기 및 목표

• 비콤팩트 영역에서 주기적 잠재적에서의 슈로더의 변분 공식을 정적 에르고딕 잠재적으로 일반화한다.
• 부하수성에 의존하지 않고 변분 특성화를 통해 리아풀로프 지수의 존재를 확립한다.
• 랜덤 슈뢰딩거 연산자의 고정 자유 에너지에 대한 변분 표현을 제공한다.
• 함수 해석적 도구를 사용하여 $V_\omega$ 속도로 죽는 브라운 운동의 녹색 함수의 지수적 감쇠률을 특징짓는다.

제안 방법

• 비콤팩트, 정적 에르고딕 잠재적에서 슈로더의 접근을 확장하여 리아풀로프 지수에 대한 변분 공식을 유도한다.
• 녹색 함수의 감쇠를 분석하기 위해 벡터장의 와이어 분해(소렌로이드 및 포텐셜 성분)를 사용한다.
• $L^2$ 공간에서의 함수 해석적 기법을 적용하며, 밀도 추론 및 $\mathbb{D}$ 내의 매끄러운 함수를 통한 근사화를 포함한다.
• 구배가 0인 벡터장의 조건을 만족시키기 위해 컨볼루션 근사 및 잘라내기 기법을 사용하여 관련 함수 공간 내에서 매끄럽고 컴팩트하게 지지된 벡터장의 조밀한 부분집합을 구성한다.
• 변분 클래스 내에서 벡터장의 무발산 성질을 활용하여 기저 확률 동역학과의 일致성을 확보한다.
• 잠재적에 대한 에르고디시티와 정적 성질에 의존하여, 샘플 경로 전반에 걸쳐 리아풀로프 지수가 거의 확실히 일정함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤팩트, 정적 에르고딕 설정에서 슈로더의 주기적 경우로부터의 일반화를 통해 리아풀로프 지수에 대한 변분 공식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 랜덤 잠재적과 평균화된 잠재적 간에 녹색 함수의 감쇠률은 어떻게 다를까?
• RQ3 이 맥락에서 리아풀로프 지수와 고정 자유 에너지 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 벡터장의 소렌로이드 및 포텐셜 성분은 녹색 함수의 지수적 감쇠를 특징짓는 데 어떻게 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 리아풀로프 지수 $\alpha_V(y)$ 는 $\mathbb{P}$-거의확실하게 존재하며, $y \in \mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ 에서는 일정하다. 이는 극한 $\lim_{r\to\infty} -\frac{1}{r}\ln g(0,ry,\omega)$ 로 정의된다.
• 슈로더의 결과를 주기적에서 정적 에르고딕 잠재적으로 일반화한 리아풀로프 지수에 대한 변분 공식이 수립된다.
• 녹색 함수는 결정론적 지수적 감쇠를 보이며, 이 감쇠률은 확률 밀도와 무발산 벡터장 위에서의 변분 표현으로 특징지어진다.
• 고정 자유 에너지는 리아풀로프 지수 공식에서 유도된 변분 표현을 갖는다.
• 소렌로이드 벡터장의 공간 $Y_{\mathrm{sol}}$ 은 $\mathcal{V}_{\mathrm{sol}}$ 에 조밀하므로 변분 공식화의 타당성이 보장된다.
• 구배와 $H^1$-노름에서의 컨볼루션 및 잘라내기 기반 근사화를 통해 $L^2$ 및 $H^1$-노름에서의 근사화에 기반한 구성으로, 관련 함수 공간 내에서 매끄럽고 컴팩트하게 지지된 벡터장의 조밀성이 확인된다.