[논문 리뷰] Affine processes on positive semidefinite matrices

Christa Cuchiero, Damir Filipovi 'c외 2명|RePEc: Research Papers in Economics|2009. 10. 01.

Stochastic processes and financial applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양의 준정적 행렬의 콘 위에서 확률적으로 연속적인 아핀 과정에 대한 수학적 기초를 확립하며, 이러한 과정이 반드시 페러러스 과정이 되고, 허용 가능한 매개변수를 가진 아핀 생성자를 가짐을 증명한다. 주요 기여는 이러한 과정의 전면적 특성화로, 모든 허용 가능한 매개변수 집합에 대해 존재성과 유일성을 보이며, 특성 함수를 지배하는 일반화된 리카티 미분방정식의 해와 매개변수 사이의 일대일 대응을 수립한다.

ABSTRACT

This article provides the mathematical foundation for stochastically continuous affine processes on the cone of positive semidefinite symmetric matrices. This analysis has been motivated by a large and growing use of matrix-valued affine processes in finance, including multi-asset option pricing with stochastic volatility and correlation structures, and fixed-income models with stochastically correlated risk factors and default intensities.

연구 동기 및 목표

• 양의 준정적 대칭 행렬의 콘 위에서 아핀 과정에 대한 엄밀한 수학적 기초를 제공하는 것.
• 스토크래틱 볼라티리티와 상관계수를 고려한 다자산 옵션 가격 설정에서의 간편한 모델이 필요함을 해결하는 것.
• 드리프트, 확산, 점프 성분에 대해 전체적인 일반성을 허용함으로써 기존의 위샤르트 과정과 같은 모델을 일반화하는 것.
• 이러한 과정의 존재성과 유일성을 위한 필요 및 충분 조건을 수립하는 것.
• 모든 확률적으로 연속적이고 무한히 분해 가능한 마코프 과정이 양의 준정적 콘 위에서 아핀 과정이며, 확산 성분이 0임을 보이며, 그 반대도 성립함을 증명하는 것.

제안 방법

• 저자들은 아핀 과정을 시간 동질성, 확률적 연속성, 아핀 생성자를 가진 마코프 과정으로 정의한다.
• 과정이 $ S_d^+ $ 안에 머물도록 하기 위한 생성자 계수(드리프트, 확산, 죽음, 점프 성분)에 대한 필요 및 충분 조건을 유도한다.
• 이 방법은 아핀 변환 공식에서 유도된 특성 함수에 대한 일반화된 리카티 미분방정식을 푸는 데 기반한다.
• 존재성 증명은 마팅게일 문제 접근법을 사용하며, 점프-확산 과정의 근사화를 통한 대체 구축 방법도 제시한다.
• 핵심 기술 도구로는 $ S_d^+ $ 위에서의 급속 감소 함수 공간 $ \mathcal{S} $ 와 $ S_d^+ $ 위에 지지된 측도의 라플라스 변환에 대한 밀도 결과를 사용한다.
• 주요 결과의 증명은 브로스–에피스타인–글라서 정리를 활용하여, 라플라스 변환이 0이면 측도도 0임을 보여, 해의 유일성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 동질성 마코프 과정이 $ S_d^+ $ 위에서 아핀이면서 확률적으로 연속적이기 위한 생성자 계수에 대한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 행렬 값 과정에 대해 아핀 변환 공식은 어떻게 특성화할 수 있으며, 그 해를 지배하는 ODE 시스템은 무엇인가?
• RQ3 어떤 매개변수 조건 하에서 $ S_d^+ $ 위에서 유일한 아핀 과정이 존재하며, 이는 페러러스 성질과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 모든 확률적으로 연속적이고 무한히 분해 가능한 마코프 과정이 $ S_d^+ $ 위에서 아핀 과정이며, 확산 성분이 0임으로 특성화될 수 있는가?
• RQ5 생성자 매개변수와 일반화된 리카티 방정식의 해 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $ S_d^+ $ 위에서 확률적으로 연속적인 아핀 과정는 반드시 페러러스 과정이며, 아핀 생성자를 지니며, 강한 마코프 성질과 페러러스 연속성 성질을 보장한다.
• 모든 허용 가능한 매개변수 집합(일반적인 드리프트, 확산, 점프 성분 포함)에 대해, $ S_d^+ $ 위에서 해당 SDE에 대해 강한 해가 유일하게 존재함을 보장하여 모델의 잘 정의됨을 보장한다.
• 과정의 특성 함수는 아핀 변환 공식을 만족하며, 누적모멘트 생성함수는 일반화된 리카티 상미분방정식의 시스템을 만족한다.
• 매개변수 공간은 허용성 조건에 의해 완전히 특성화되며, 드리프트 행렬에 대해 $ b - (d-1)\tilde{\theta}\tilde{\theta}^T \in S_d^+ $ 라는 조건이 포함된다.
• 확률적으로 연속적이고 무한히 분해 가능한 마코프 과정의 클래스는 정확히 확산 성분이 0인 아핀 과정의 클래스와 일치한다.
• 모든 $ S_d^+ $ 위의 측도의 라플라스 변환은 집합 $ \{ \exp(-\langle u, \cdot \rangle) \}_{u \in S_d^{++}} $ 에서의 값에 의해 유일하게 결정되며, 이는 과정의 법칙의 유일성을 보장한다.