[논문 리뷰] Algebraic combinatorial Fourier and Legendre transforms with applications in perturbative quantum field theory

D. M. Jackson, Achim Kempf외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 24.

Advanced Mathematical Theories and Applications참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 미분구조가 정의되지 않는 양자장론(QFT)의 섭동 이론에서 발생하는 해석적 문제를 해결하기 위해 형식적 멱급수 링을 사용하여 푸리에 및 레지온드르 변환의 대수적 및 조합론적 공식화를 제시한다. 생성 함수가 발산하더라도 멱급수 계수에만 기반하여 변환을 수행함으로써, 해석적 수렴 조건에 의존하지 않고도 변환이 잘 정의되며, 이는 섭동 QFT 예측의 정확성을 설명하는 강력한 대수적 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

Curiously, the predictions of the standard model of particle physics are highly successful in spite of the fact that several parts of the underlying quantum field theoretical framework are analytically problematic. Indeed, it has long been suggested, by Einstein, Schrodinger and others, that analytic problems in the formulation of fundamental laws could be overcome by reformulating these laws without reliance on analytic methods namely, for example, algebraically. In this spirit, we focus here on the analytic ill-definedness of the quantum field theoretic Fourier and Legendre transforms of the generating series of Feynman graphs, including the path integral. To this end, we develop here purely algebraic and combinatorial formulations of the Fourier and Legendre transforms, employing rings of formal power series. These are all-purpose transform methods, i.e., their applicability is not restricted to QFT. When applied in QFT to the generating functionals of Feynman graphs, the new transforms are well defined and thereby help explain the robustness and success of the predictions of perturbative QFT in spite of analytic difficulties. Technically, we overcome here the problem of the possible divergence of the various generating series of Feynman graphs by constructing Fourier and Legendre transforms of formal power series that operate in a well defined way on the coefficients of the power series irrespective of whether or not these series converge. In contrast, the use of formal power series in QFT by Bogolubov, Hepp, Parasiuk and Zimmermann concerned a different kind of divergencies, namely the UV divergencies of loop integrals and their renormalization. Our new methods could provide new algebraic and combinatorial perspectives on QFT structures that are conventionally thought of as analytic in nature, such as the occurrence of anomalies from the path integral measure.

연구 동기 및 목표

• 양자장론의 페르미온 그래프 생성 함수에 대한 푸리에 및 레지온드르 변환의 해석적 정의 불가 문제를 해결하기 위해.
• 수렴 조건에 의존하지 않는 해석적 변환의 대체로 대수적 및 조합론적 방법을 개발하기 위해.
• 생성 함수의 수렴 여부와 관계없이 멱급수 계수에만 기반하여 잘 정의된 변환의 프레임워크를 제공하기 위해.
• 기존에 해석적 구조로 간주되던 요소들—예를 들어 경로적분 측도에서 유래하는 이상 현상—에 대해 새로운 대수적 관점을 제공하기 위해.

제안 방법

• 변환 정의의 기본 대수적 구조로 형식적 멱급수 링을 사용한다.
• 푸리에 및 레지온드르 변환을 수렴 여부와 무관하게 멱급수 계수에 작용하도록 재정의한다.
• 변환은 수렴 여부에 영향을 받지 않는 멱급수 계수에 대한 조합론적 연산을 통해 구성되며, 항상 잘 정의된다.
• 이 방법은 QFT를 넘어서 생성 함수를 포함하는 모든 맥락에 일반화 가능하다.
• 기존의 UV 발산에 대한 재정규화 기법을 피하고, 변환 정의의 해석적 문제에 집중한다.
• 기본적으로 수렴 조건이 필요 없는 생성 함수성의 일관된 다루기가 가능해지며, 페르미온 그래프의 생성 함수성에 대한 일관된 연산이 가능해진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 페르미온 그래프 생성 함수가 발산할 경우에도 푸리에 및 레지온드르 변환을 어떻게 대수적으로 재정의하여 잘 정의되게 할 수 있는가?
• RQ2 QFT에서 해석적 변환을 대체할 수 있는 어떤 대수적 구조가 물리적 일관성을 유지할 수 있는가?
• RQ3 형식적 멱급수 변환은 해석적 병리가 존재하는 표준 공식화에도 불구하고 섭동 QFT 예측의 강건성을 어떻게 설명할 수 있는가?
• RQ4 대수적 변환은 경로적분 측도에서 유래하는 이상 현상과 같은 해석적으로 문제가 되는 구조에 대해 어떤 새로운 통찰을 제공하는가?
• RQ5 수학적 엄밀성과 적용 가능성 측면에서 이러한 대수적 변환은 기존의 해석적 공식화와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 제안된 대수적 푸리에 및 레지온드르 변환은 생성 함수가 발산하더라도 형식적 멱급수에서 잘 정의된다.
• 변환은 수렴 여부에 영향을 받지 않고 계수에만 기반하여 작용한다.
• 이 방법은 기존 공식화에서의 해석적 문제에도 불구하고 섭동 QFT 예측의 성공을 설명하는 강력한 프레임워크를 제공한다.
• 이 접근법은 기존에 해석적 구조로 간주되던 요소들—예를 들어 경로적분 측도에서 유래하는 이상 현상—에 대해 새로운 대수적 해석을 제공한다.
• 이 변환은 QFT를 넘어서 생성함수를 포함하는 모든 맥락에 일반적으로 적용 가능한 보편적 도구이다.
• 이 프레임워크는 기존의 재정규화를 대체하지는 않지만, 다른 유형의 해석적 문제—즉, 루프 적분이 아닌 변환 정의의 문제—를 다루며 이를 보완한다.