[논문 리뷰] Amenability properties of the central Fourier algebra of a compact group

Mahmood Alaghmandan, Nico Spronk|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 25.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 46인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트 군 G 위의 중심 푸리에 대수 ZA(G)의 유연성 성질을 조사한다. G가 비아벨 연결 부분군을 가진다면 ZA(G)는 유계 점 도함수를 가짐을 입증하며, ZA(G)가 유연한 것은 G가 가상 아벨일 때에만 성립한다. 주요 기여는 ZA(G)의 유연성, 약한 유연성, 초타우버리안 성질을 군의 구조, 특히 연결 성분과 유한 몫군에 따라 완전히 특성화한 것이다.

ABSTRACT

We let the central Fourier algebra, ZA(G), be the subalgebra of functions u in the Fourier algebra A(G) of a compact group, for which u(xyx^{-1})=u(y) for all x,y in G. We show that this algebra admits bounded point derivations whenever G contains a non-abelian closed connected subgroup. Conversely when G is virtually abelian, then ZA(G) is amenable. Furthermore, for virtually abelian G, we establish which closed ideals admit bounded approximate identities. We also show that if ZA(G) is weakly amenable, even hyper-Tauberian, exactly when G admits no non-abelian connected subgroup. We also study the amenability constant of ZA(G) for finite G and exhibit totally disconnected groups G for which ZA(G) is non-amenable.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 군 G에 대해 중심 푸리에 대수 ZA(G)가 언제 유연한지, 약한 유연성 또는 초타우버리안인지 결정하는 것.
• 특히 비아벨 연결 부분군의 존재와 관련하여 ZA(G)에 유계 점 도함수가 존재하는지 분석하는 것.
• G가 가상 아벨일 경우 ZA(G)의 닫힌 아이디얼 중에서 유계 근사 항등원을 가지는 것들을 특성화하는 것.
• 유한군 및 프로파인 군에 대해 amenability 상수 AM(ZA(G))를 계산하고 분석하는 것.
• 메이니와 리치의 이전 작업을 일반화하여 스펙트럼에 대한 스펙트럼 합성과 약한 합성에 관한 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• ZA(G)를 내부 자동형사상에 관하여 불변인 A(G)의 부분대수로 정의한다. 즉, 모든 x,y ∈ G에 대해 u(xyx⁻¹) = u(y)를 만족하는 함수 u를 의미한다.
• 표현 이론과 컴팩트 군 위의 조화 분석을 사용하여 ZA(G)의 구조를 분석하며, 특히 G가 가상 아벨이거나 비아벨 연결 성분을 가질 경우를 중심으로 다룬다.
• 유계 근사 항등원과 도함수를 포함한 연산자 공간 이론 및 바나흐 대수 이론 기법을 적용하여 유연성과 약한 유연성 성질을 연구한다.
• 등사관계 ZA(G×G) ≅ ZA(G) ˆ⊗ ZA(G)와 대각 원소 1_Conj(G)_D를 활용하여 텐서곱 성질을 통해 amenability 상수를 계산한다.
• 유한 군의 경우 AM(ZA(G))가 곱에 대해 곱셈적임을 이용하고, 이는 비아벨 유한 군의 무한 곱에 적용되어 비유연성을 보여준다.
• 스펙트럼 합성 기법을 사용하여 ZA(G)의 스펙트럼의 유한 및 싱글턴 부분집합을 연구하며, 메이니와 리치의 결과를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 군 G에 대해 중심 푸리에 대수 ZA(G)가 언제 유연한가?
• RQ2 G에 비아벨 연결 부분군이 존재하면 ZA(G)에 유계 점 도함수가 존재하는가?
• RQ3 가상 아벨 컴팩트 군에 대해 ZA(G)의 어떤 닫힌 아이디얼이 유계 근사 항등원을 가지는가?
• RQ4 ZA(G)가 언제 약한 유연성 또는 초타우버리안인가?
• RQ5 유한군 및 프로파인 군에 대해 amenability 상수 AM(ZA(G))는 무엇이며, 언제 무한이 되는가?

주요 결과

• G가 비아벨 닫힌 연결 부분군을 포함하면 ZA(G)는 유계 점 도함수를 가진다.
• ZA(G)는 G가 가상 아벨일 때에만 유연하다.
• ZA(G)는 연결 성분 G_e가 아벨일 때에만 약한 유연성(또한 초타우버리안)이 성립한다.
• 비아벨 유한 군의 무한 곱 P = ∏G_i에 대해, 만약 무한히 많은 G_i가 비아贝尔이면 ZA(P)는 비유연하며, 이는 AM(ZA(P)) = ∞ 이다.
• 유한 곱에 대해서는 AM(ZA(P)) = ∏AM(ZA(G_i))를 만족하며, G = H × F 이고 F가 유한일 경우 AM(ZA(G)) ≥ AM(ZA(F))이다.
• 논문은 라서의 유연성 결과를 광범위하게 일반화하고, ZA(G)의 스펙트럼의 유한 및 싱글턴 부분집합에 대한 새로운 스펙트럼 합성 결과를 제시한다.