[논문 리뷰] An ergodic theorem for homogeneously distributed quantum channels with applications to matrix product states

Ramis Movassagh, Jeffrey Schenker|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 25.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 균일하게 분포된 양자 채널에 의해 구동되는 양자 과정에 대해 에르고딕 정리(ergodic theorem)를 수립하며, 비가역성 조건 하에서 초기 조건과 무관하게 지수적 수렴을 보이는 에르고딕 상태 수열이 존재함을 증명한다. 이 결과는 에르고딕 행렬 곱 상태의 열역학적 극한을 특성화하며, 부피 내에서 2점 상관관계의 지수적 감쇠를 보여준다.

ABSTRACT

Any quantum process is represented by a sequence of quantum channels. We consider ergodic processes, obtained by sampling channel valued random variables along the trajectories of an ergodic dynamical system. Examples of such processes include the effect of repeated application of a fixed quantum channel perturbed by arbitrary correlated noise, or a sequence of channels drawn independently and identically from an ensemble. Under natural irreducibility conditions, we obtain a theorem showing that the state of a system evolving by such a process converges exponentially fast to an ergodic sequence of states depending on the process, but independent of the initial state of the system. As an application, we describe the thermodynamic limit of ergodic matrix product states and prove that the 2-point correlations of local observables in such states decay exponentially with their distance in the bulk. Further applications and physical implications of our results are discussed in the companion paper [11].

연구 동기 및 목표

• 에르고딕 동역학계를 따라 변하는 채널가치 랜덤 변수에 의해 지배되는 양자 과정에 대한 일반적인 에르고딕 정리 수립.
• 상관관계가 있거나 i.i.d.인 채널 수열에 따라 진화하는 양자 시스템의 장기적 행동 분석.
• 에르고딕 채널 분포 하에서 행렬 곱 상태의 열역학적 극한 특성화.
• 이러한 상태에서 국소 관측량 간의 상관관계가 부피 내에서 지수적으로 감쇠하는지 증명.
• 상관관계 노이즈가 있는 양자 다체계의 점근적 행동을 이해하기 위한 엄밀한 기초 제공.

제안 방법

• 에르고딕 동역학계에서 샘플링된 양자 채널 수열로 양자 과정 모델링.
• 유일한 불변 상태 수열 존재를 보장하기 위해 비가역성 조건 적용.
• 스펙트럼 갭 기법을 사용해 에르고딕 상태 수열로의 지수적 수렴 확립.
• 행렬 곱 상태의 구조를 활용해 에르고딕 채널 집합 하에서의 열역학적 극한 분석.
• 채널 과정의 수렴 속도를 이용해 상관관계 감쇠 성질 유도.
• 연산자 대수학과 양자 확률 도구를 활용해 장기적 동역학 분석.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에르고딕 과정에서 샘플링된 양자 채널 수열이 불변 상태로 지수적으로 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 기저 채널이 에르고딕적으로 분포할 경우 행렬 곱 상태의 열역학적 극한은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 이러한 행렬 곱 상태에서 국소 관측량 간의 2점 상관관계는 어떤 감쇠 행동을 보이는가?
• RQ4 이러한 채널 수열 하에서 시스템의 초기 상태가 장기적 행동에 미치는 영향은 어느 정도인가?
• RQ5 이 과정의 수렴 속도를 정량화하고 상관관계 감쇠와 같은 물리적 성질과 연결할 수 있는가?

주요 결과

• 에르고딕 채널 수열에 따라 진화하는 양자 시스템의 상태는 초기 상태와 무관하게 유일한 에르고딕 상태 수열로 지수적으로 수렴한다.
• 수렴 속도는 채널 과정의 스펙트럼 갭에 의해 결정되며, 이는 일시적 성분의 지수적 감쇠를 보장한다.
• 열역학적 극한에서, 에르고딕 행렬 곱 상태는 부피 내 국소 관측량 간의 2점 상관관계가 지수적으로 감쇠한다.
• 상관관계 감쇠는 부피 전역에서 균일하며 초기 상태와 독립적이며, 채널 수열의 에르고딕 성질을 반영한다.
• 자연스러운 비가역성 조건 하에서 결과가 성립하며, 이는 한정 상태의 유일성과 안정성을 보장한다.
• 이 틀은 i.i.d. 채널 집합과 상관관계가 있는 채널 수열 모두에 적용 가능하여 물리적 관련성을 넓힌다.