[논문 리뷰] An explicit theory of $\pi_{1}^{\un,\crys}(\mathbb{P}^{1} - \{0,\mu_{N},\infty\})$ - V-1 : The Frobenius extended to $\pi_{1}^{\un,\DR}(\mathbb{P}^{1} - \{0,\mu_{p^{\alpha}N},\infty\})$

David Jarossay|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 26.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{P}^1 - \{0, \mu_N, \infty\}$의 de Rham 프로유니폴러 fundamental group에 대한 프로베니우스 구조를 순서 $p^\alpha N$의 고차원 단위근으로 확장하여, $p$-진 다중 제타 값의 직접적 및 간접적 계산 방법을 통합하는 정준 프레임워크를 수립한다. 일반화된 수반 $p$-진 다중 제타 값과 의사반복 적분을 도입함으로써, 조화 이하라 작용과 $p$-진 다중로그 함수 사상에 의해 다양한 $N$에 걸쳐 일관된 이론을 구축한다.

ABSTRACT

Let $p$ a prime number. For all $N \in \mathbb{N}^{\ast}$ prime to $p$, let $k_{N}$ be a finite field of characteristic $p$ containing a primitive $N$-th root of unity. Let $X_{k_{N},N}= ext{ }\mathbb{P}^{1} - (\{0,\infty\} \cup \mu_{N}) ext{ }/ ext{ }k_{N}$. This work is an explicit theory of the crystalline pro-unipotent fundamental groupoid $(\pi_{1}^{\un,\crys})$ of $X_{k_{N},N}$. In the parts I to IV, we have considered each possible value of $N$ separately. The purpose of part V is to study the role of the morphisms relating $\pi_{1}^{\un}(\mathbb{P}^{1} - \{0,\mu_{N_{1}},\infty\})$ and $\pi_{1}^{\un}(\mathbb{P}^{1} - \{0,\mu_{N_{2}},\infty\})$ when $N_{1}$ divides $N_{2}$. In V-1, we specify this question to the theme of part I, the computation of the Frobenius. For any $N \in \mathbb{N}^{\ast}$, let $K_{N}=\mathbb{Q}_{p}(\xi_{N})$ where $\xi_{N}\in \overline{\mathbb{Q}_{p}}$ is a primitive $N$-th root of unity, and $X_{K_{N},N} = \mathbb{P}^{1} - (\{0,\infty\} \cup \mu_{N}) ext{ }/ ext{ }K_{N}$. For $N$ prime to $p$, we are used to view the Frobenius of $\pi_{1}^{\un,\crys}(X_{k_{N},N})$ as a structure on $\pi_{1}^{\un,\DR}(X_{K_{N},N})$. In V-1, we show that the Frobenius of $\pi_{1}^{\un,\DR}(X_{K_{N},N})$, iterated $\alpha \in \mathbb{N}^{\ast}$ times, can be extended canonically as a structure of $\pi_{1}^{\un,\DR}(X_{K_{p^{\alpha}N},p^{\alpha}N})$. This allows to define generalizations of adjoint $p$-adic multiple zeta values associated with roots of unity of order $p^{\alpha}N$, and several related objects. This also gives a canonical framework to relate to each other the direct method of computation of the Frobenius of I-1 and the indirect methods of computation of the Frobenius of I-2 and I-3.

연구 동기 및 목표

• 다양한 $N$에 대해 $\pi_1^{\un,\DR}(\mathbb{P}^1 - \{0, \mu_N, \infty\})$의 프로베니우스를 직접적 및 간접적 방법으로 통합하는 것.
• $\alpha \in \mathbb{N}^*$에 대해 $\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_N,N})$에서 $\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N})$로 프로베니우스 구조를 확장하는 것.
• $p^\alpha N$ 차수의 단위근에 대해 일반화된 수반 $p$-진 다중 제타 값을 정의하고, 그 값이 $K_N = \mathbb{Q}_p(\xi_N)$에 속하도록 하는 것.
• 모르피즘 $\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N}) \to \pi_1^{\un,\DR}(X_{K_N,N})$와 프로베니우스 작용 사이의 정준 호환성을 확립하는 것.

제안 방법

• 정준 반복을 통해 $\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_N,N})$의 프로베니우스 연산자를 $\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N})$로 확장하는 것.
• 형식적 매개변수 $\epsilon_j$를 단위근의 변형으로 사용하여 $\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N})$에 대한 $\Sigma$-조화 이하라 작용을 도입하는 것.
• 합과 의사적분 사이의 비교 사상 $\mathrm{comp}_{\leftarrow \Sigma}$를 통해 $p$-진 의사수반 하이퍼로그 함수를 정의하는 것.
• $v_p(x) > \frac{1}{p-1}$일 때 멱급수 $\sum_{l \geq 0} \frac{x^l}{l!}$의 $p$-진 수렴성을 이용하여 확장된 프로베니우스의 잘 정의성을 보장하는 것.
• $z \mapsto z^{p^\alpha}$를 통해 $X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N}$에서의 프로베니우스를 $X_{K_N,N}$에서의 프로베니우스와 연결하기 위해 $\Sigma$-조화 이하라 작용을 적용하는 것.
• 지역적으로 해석적 함수로서의 $p$-진 의사수반 다중로그 함수를 $U_K^r$ 위에 정의하고, 조화 이하라 대수에 값이 포함되도록 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $\alpha \in \mathbb{N}^*$에 대해 $\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_N,N})$의 프로베니우스는 $\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N})$로 정준적으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 모르피즘 $\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N}) \to \pi_1^{\un,\DR}(X_{K_N,N})$는 프로베니우스 구조와 어떻게 상호작용하는가?
• RQ3 $X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N}$에서의 $\Sigma$-조화 이하라 작용은 $p$-진 다중로그 함수의 관점에서 어떻게 해석할 수 있는가?
• RQ4 제1부에서의 직접적 프로베니우스 계산은 제2~제4부의 간접적 방법과 어떻게 통합된 프레임워크를 통해 조화를 이룰 수 있는가?
• RQ5 순서 $p^\alpha N$의 단위근에서의 일반화된 수반 $p$-진 다중 제타 값의 대수적 및 해석적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 프로베니우스는 $\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_N,N})$에서 정준적으로 $\alpha$번 반복하여 $\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N})$에 대한 구조를 정의할 수 있다.
• 확장된 프로베니우스는 $\mathrm{har}_{X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N}} = \mathrm{har}_{X_{K_N,N}} \circ \Sigma$-조화 이하라 작용과 $z \mapsto z^{p^\alpha}$의 조합으로 표현된다.
• 일반화된 수반 $p$-진 다중 제타 값은 $\mathrm{PseudoLiAd}_{p,\alpha}(X_K)$의 계수로 정의되며, 이는 단위근에서의 다중 조화 합의 $p$-진 유사체이다.
• $|\epsilon_j|_p < p^{-1/(p-1)}$일 때 $\Sigma$-조화 이하라 작용은 잘 정의되며, 이는 관련 멱급수의 수렴성을 보장한다.
• 비교 사상 $\mathrm{comp}_{\leftarrow \Sigma}$는 $\mathrm{comp}_{\leftarrow \Sigma} \circ \mathrm{comp}_{\leftarrow \Sigma} = \mathrm{id}$를 만족하여 합과 의사적분 사이의 이중성을 확립한다.
• $p$-진 의사수반 다중로그 함수는 $U_K^r$ 위의 지역 해석적 함수이며, 순서 $p^\alpha N$의 단위근에서의 값은 일반화된 수반 $p$-MZV $\mu_{p^\alpha N}$를 제공한다.