[논문 리뷰] An Extended Galerkin Analysis for Linear Elasticity with Strongly Symmetric Stress Tensor.

Qingguo Hong, Jun Hu외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 26.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 40인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 강한 대칭 응력 텐서, 변위 및 그들의 요소별 경계 보정을 사용하여 선형 탄성에 대한 통합된 사항 필드 갈레르킨 형식을 제안한다. 이는 비연속, 비일치, 일치 갈레르킨 방법을 통합하고 확장하며, 안정성 매개변수의 증가에 따라 균일한 inf-sup 조건을 증명하고 혼합 방법으로 수렴함을 보여준다.

ABSTRACT

This paper presents an extended Galerkin analysis for various Galerkin methods of the linear elasticity problem. The analysis is based on a unified Galerkin discretization formulation for the linear elasticity problem consisting of four discretization variables: strong symmetric stress tensor $\boldsymbol \sigma_h$, displacement $u_h$ inside each element and the modifications of these two variables $\check \boldsymbol \sigma_h$ and $\check u_h$ on elementary boundaries. Motivated by many relevant methods in literature, this formulation can be used to derive most existing discontinuous, nonconforming and conforming Galerkin methods for linear elasticity problem and especially to develop a number of new discontinuous Galerkin methods. Many special cases of this four-field formulation are proved to be hybridizable and can be reduced to some known hybridizable discontinuous Galerkin, weak Galerkin and local discontinuous Galerkin methods by eliminating one or two of the four fields. As certain stabilization parameter tends to infinity, this four-field formulation is proved to converge to some conforming and nonconforming mixed methods for linear elasticity problem. Two families of inf-sup conditions, one known as $H^1$-philic and another known as H(div)-phillic, are proved to be uniformly valid with respect to different choices of discrete spaces and parameters. These inf-sup conditions guarantee the well-posedness of the new proposed formulations and also offer a new and unified analysis for many existing methods in literature as a by-product.

연구 동기 및 목표

• 선형 탄성에 대한 기존의 비연속, 비일치, 일치 갈레르킨 방법을 하나의 변분 형식으로 통합하는 것.
• 체계적인 사항 필드 이산화 접근법을 통해 새로운 비연속 갈레르킨 방법을 개발하는 것.
• 다양한 이산 공간과 안정성 매개변수에 걸쳐 균일한 inf-sup 조건을 확립하여 문제의 잘 정의됨을 보장하는 것.
• 무한한 안정성 매개변수의 극한에서 이 형식이 알려진 일치 및 비일치 혼합 방법으로 수렴함을 보여주는 것.
• 기존 문헌에 있는 방법들을 설명하고 확장할 수 있는 통합 분석 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 강한 대칭 응력 텐서 $\boldsymbol{\sigma}_h$, 변위 $u_h$, 그리고 그들의 경계 보정 $\check{\boldsymbol{\sigma}}_h$ 및 $\check{u}_h$를 사용한 사항 필드 갈레르킨 방법을 제안한다.
• 이 사항 필드 체계를 사용하여 선형 탄성 문제의 약한 형태를 유도하여 요소 간 일관된 이산화를 가능하게 한다.
• 두 가지 다른 inf-sup 조건—$H^1$-우선적 및 $H(\text{div})$-우선적—을 도출하였으며, 이는 이산 공간과 매개변수에 관계없이 균일하게 유효함을 증명하였다.
• 하나 또는 두 개의 필드를 제거함으로써 하이브리드 가능, 약한 갈레르킨, 국소 비연속 갈레르킨 방법이 특수한 경우로 나타남을 보였다.
• 안정성 매개변수가 무한으로 갈수록 수렴 행동을 분석하여 혼합 방법으로 수렴함을 보였다.
• 통합된 형식을 사용하여 안정성과 수렴성이 보장된 새로운 비연속 갈레르킨 스킴을 유도하고 분석하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 변분 형식이 선형 탄성에 대한 기존의 비연속, 비일치, 일치 갈레르킨 방법을 통합할 수 있는가?
• RQ2 다양한 이산 공간과 매개변수에 걸쳐 사항 필드 갈레르킨 형식의 잘 정의됨을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 제안된 방법들은 알려진 하이브리드 가능 비연속 갈레르킨, 약한 갈레르킨, 국소 비연속 갈레르킨 방법과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 무한한 안정성 매개변수의 극한에서 형식은 어떻게 되며, 알려진 혼합 방법으로 수렴하는가?
• RQ5 이 프레임워크 내에서 $H^1$-우선적 및 $H(\text{div})$-우선적 형식에 대해 균일한 inf-sup 조건을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 사항 필드 형식은 비연속, 비일치, 일치 스킴을 포함한 광범위한 갈레르킨 방법들을 하나의 프레임워크로 통합한다.
• 이산 공간 선택이나 안정성 매개변수에 관계없이 균일하게 유효한 두 가지 유형의 inf-sup 조건—$H^1$-우선적 및 $H(\text{div})$-우선적—이 증명되었다.
• 한 개 또는 두 개의 필드를 제거함으로써 기존의 하이브리드 가능 비연속 갈레르킨, 약한 갈레르킨, 국소 비연속 갈레르킨 방법이 특수한 경우로 나타남을 보였다.
• 안정성 매개변수가 무한으로 갈수록 형식은 선형 탄성에 대한 일치 및 비일치 혼합 방법으로 수렴한다.
• 통합된 분석은 기존 갈레르킨 방법들을 이해하고 확장하는 데 새로운 이론적 기초를 제공한다.
• 이 프레임워크를 통해 안정성과 수렴성이 보장된 새로운 비연속 갈레르킨 방법들을 체계적으로 유도할 수 있다.