[논문 리뷰] Finite element approximations of symmetric tensors on simplicial grids in Rn: the lower order case

Jun Hu, Shangyou Zhang|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 30.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 24인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^n$에서 단순형 그리드에 대한 대칭 텐서에 대한 저차수 유한요소 공간의 통합적 구성법을 제시한다. 이는 $H(\operatorname{div})-P_k$ 공간에 $(n-1)$차원 단순형에서의 $H(\operatorname{div})-P_{n+1}$ 버블 함수를 추가하여 구성되며, 최적 수렴 속도를 달성하고 2차원에서는 18+3, 3차원에서는 48+6으로 자유도를 감소시켜 이전 기록인 21+3 및 156+6을 초월한다. 안정성은 미분형식을 사용하지 않는 통합적 접근법을 통해 확보된다.

ABSTRACT

In this paper, we construct, in a unified fashion, lower order finite element subspaces of spaces of symmetric tensors with square-integrable divergence on a domain in any dimension. These subspaces are essentially the symmetric H(div)-Pk (1=

연구 동기 및 목표

• 임의의 차원에서 단순형 그리드에 대한 혼합형식에서 대칭 텐서 장에 대한 안정적이고 일치하는 유한요소 공간을 구성하는 것.
• 기존 구성법에 비해 2차원 및 3차원에서 첫 번째 순서 혼합 요소의 자유도 수를 줄이는 것.
• 첫 번째 순서 시스템에 대한 보조 혼합 유한요소 가족을 통합적이고 미분형식에 의존하지 않는 방식으로 구성하는 것.
• 각 $(n-1)$차원 면에서 $H(\operatorname{div})-P_k$ 공간에 $H(\operatorname{div})-P_{n+1}$ 버블 함수를 추가함으로써 이산 인프-서프 조건이 성립하도록 보장하는 것.

제안 방법

• 각 $(n-1)$차원 단순형에서 $H(\operatorname{div})-P_{n+1}$ 버블 함수를 추가한 $H(\operatorname{div},\Omega;\mathbb{S})$-일致 유한요소 공간을 구성한다.
• $1 \leq k \leq n-1$인 경우 각 $(n-1)$-단순형에 $\frac{(n+1)n}{2}$개의 버블 함수를 추가하고, $k=n$인 경우 $\frac{(n-1)n}{2}$개의 버블 함수를 사용한다.
• 미분형식에 의존하지 않고 통합적 프레임워크를 사용하여 보조 혼합 유한요소 가족을 유도한다.
• 버블 강화를 통해 조각별 강체 운동 공간을 제어함으로써 안정성을 확보하고, 이산 인프-서프 조건이 성립하도록 보장한다.
• 강화된 대칭 텐서 공간과 이산 $P_{k-1}$ 다항식을 사용하여 선형 탄성 문제의 혼합형식을 적용한다.
• 정확한 해가 있는 단위 정사각형에서 수치적 수렴 분석을 수행하여 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathbb{R}^n$에서 단순형 그리드에 대해 미분형식을 사용하지 않고 통합적 저차수 대칭 텐서 유한요소 공간을 구성할 수 있는가?
• RQ2 2차원 및 3차원에서 단순형 그리드에 대한 첫 번째 순서 혼합 요소에 필요한 최소 자유도 수는 얼마인가?
• RQ3 $H(\operatorname{div})$-일치 대칭 텐서 공간에 대해 저차수 다항형 모양 함수를 사용할 때 이산 인프-서프 조건을 어떻게 확보할 수 있는가?
• RQ4 이 구성법을 Raviart-Thomas 및 Arnold-Winther 요소와 같은 알려진 예를 포함하는 보조 혼합 유한요소 가족으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 첫 번째 순서 혼합 요소에 대해 2차원에서 총 자유도를 18 + 3, 3차원에서는 48 + 6으로 감소시켜 이전 기록인 21 + 3 및 156 + 6을 초월한다.
• 수치 실험을 통해 이완 및 응력에 대해 $L^2$-노름에서 $h^2$의 최적 수렴 속도를 관찰하였고, 응력의 오차 발산에 대해서도 $h^2$의 수렴 속도를 확보하였다.
• 요소당 21개 자유도를 가진 Arnold–Winther 요소는 이완 및 응력에 대해 $h^1$ 수렴 속도를 보였지만, 요소당 18개 자유도를 가진 새로운 요소는 $h^2$ 수렴 속도를 달성하였다. 이는 전체 $P_1$ 이완 공간을 사용한 덕분이다.
• 버블 강화를 통해 강체 운동 공간을 제어함으로써 이산 인프-서프 조건이 성립하게 되어, 미분형식에 의존하지 않고도 안정적인 혼합형식이 가능해진다.
• 이 방법은 Raviart–Thomas (1차원), Arnold–Winther (2차원), Arnold–Awanou–Winther (3차원) 요소를 특수 케이스로 포함하는 통합적 보조 혼합 유한요소 가족을 생성한다.
• 수치 결과는 새로운 요소가 유사한 계산 복잡도에도 불구하고 정확도와 수렴 차수에서 Arnold–Winther 요소를 능가하며 최적 수렴을 달성함을 확인한다.