[논문 리뷰] An index theorem for Lie algebroids

Arie Blom, Hessel Posthuma|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 24.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Weyl 대수의층에 대한 Fedosov 유형의 해체를 구성하여 리 대수oid에 대한 지수정리 수립을 위해, 주기적 순환호모로지에서 리 대수oid 코homology로의 유도된 특성 맵을 가능하게 한다. 핵심 결과는 이 맵이 자명한 사이클에 대한 평가가 토드–체른 특성류임을 계산하는 것으로, 이는 대수적 지수정리의 일반화이자 Hochschild–Kostant–Rosenberg 동형사상이 리 대수oid 설정으로 확장된 것이다.

ABSTRACT

We study Lie algebroids from the point of view noncommutative geometry. More specifically, using ideas from deformation quantization, we use the PBW-theorem for Lie algebroids to construct a Fedosov-type resolution for the associated sheaves of Weyl algebras. This resolution enables us to construct a "character map" --in the derived category-- from the sheafified cyclic chain complexes to the Chevalley--Eilenberg complex of the Lie algebroid. The index theorem computes the evaluation of this map on the trivial cycle in terms of the Todd--Chern characteristic class. Finally, we show compatibility of the character map with the Hochschild--Kostant--Rosenberg morphism.

연구 동기 및 목표

• 비가환 기하학과 변형 양자화를 이용하여 대수적 지수정리를 리 대수oid 설정으로 확장하기.
• 리 대수oid의 보편 포괄 대수의 주기적 순환호모로지에서 그 리 대수oid 코homology로의 유도된 특성 맵을 구성하기.
• 리 대수oid의 맥락에서 Hochschild–Kostant–Rosenberg 사상과 이 특성 맵 간의 호환성을 확립하기.
• 순환 코호모로지와 특성류를 체른–바일 이론을 통해 연결함으로써 리 대수oid에 대한 리만–로흐 정리를 일반화하기.

제안 방법

• 리 대수oid의 PBW 정리를 사용하여 Weyl 대수의층에 대한 Fedosov 유형의 해체를 구성하기.
• 주기적 순환복합체에서 휘어진 Chevalley–Eilenberg 복합체로의 코herent 사상 정의하기 (유도 범주 내에서).
• 체른–바일 호모모피즘을 활용하여 접속의 곡률 형식과 리 대수oid 코hom로지 내 특성류 간의 관계 설정하기.
• 삽입 연산자 ι_π의 지수를 통해 Hochschild 코호모로지 τ₂ₙᴴᵒᶜʰ를 순환 코호모로지 τ₂ₙʷ로 확장하기.
• 평가 사상 ev₁을 사용하여 순환 코호모로지를 리 대수 코호모로지 내 특성류와 연결하기.
• 국소 리만–로흐 정리를 적용하여 순환 코호모로지의 평가값을 토드–체른 클래스와 동일하게 설정하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대수적 지수정리는 어떻게 리 대수oid 설정으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 리 대수oid의 보편 포괄 대수의 주기적 순환호모로지와 그 리 대수oid 코호모로지 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 Hochschild–Kostant–Rosenberg 사상은 어떻게 리 대수oid로 확장되며, 특성 맵과의 호환성은 어떠한가?
• RQ4 특성류—특히 토드 및 체른 클래스—는 리 대수oid에 대한 지수정리에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 보편 포괄 대수의 주기적 순환복합체에서 리 대수oid의 휘어진 Chevalley–Eilenberg 복합체로의 코herent 사상 Φ가 유도 범주 내에서 존재한다.
• 특성 맵 Φ는 Hochschild–Kostant–Rosenberg 사상, 토드 클래스, 국소 자유 모듈의 체른 클래스를 포함하는 교환 다이어그램으로 제한된다.
• 순환 코호모로지 τ₂ₙʷ가 자명한 사이클에 대해 평가된 값은 국소 리만–로흐 정리에 따라 토드–체른 특성류와 일치한다.
• 순환 코호모로지 τ₂ₙʷ는 리 대수 𝔤𝔩(n,𝕂)⊕𝔤𝔩(r,𝕂)의 작용에 대해 불변이며, 이는 그 기본성과 불변성을 확인한다.
• 유도된 특성 맵을 통해 Bressler–Nest–Tsygan 지수정리는 임의의 리 대수oid로 일반화된다.
• 이 방법은 특성류를 통해 비가환 순환호모로지와 가환 리 대수oid 코호모로지를 연결하는 프레임워크를 제공한다.