[논문 리뷰] An integer valued bi-invariant metric on the group of contactomorphisms of R^2n x S^1

Sheila Sandon|arXiv (Cornell University)|2009. 10. 29.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^{2n} \times S^1$의 컴actsupport된 컨택트로지즘의 그룹에 대해 정수 값을 갖는 이중 불변 거리함수를 구성한다. 이는 생성 함수를 통해 비터보의 심플렉틱 거리함수를 확장하며, 거리함수는 유계가 아니고 비팔라 부분순서와 호환되며, 이는 이산적인 에너지 값으로 나타나는 새로운 컨택트 기하학적 강성 현상을 보여준다.

ABSTRACT

In his 1992 article on generating functions Viterbo constructed a bi-invariant metric on the group of compactly supported Hamiltonian symplectomorphisms of R^2n. Using the set-up of arXiv:0901.3112 we extend the Viterbo metric to the group of compactly supported contactomorphisms of R^2n x S^1 isotopic to the identity. We also prove that the contactomorphism group is unbounded with respect to this metric.

연구 동기 및 목표

• 생성 함수를 사용하여 $ℝ^{2n} \times S^1$에서 비터보의 심플렉틱 이중 불변 거리함수를 컨택트 설정으로 확장한다.
• 정수 값만을 취하는 $„{Cont}_0^c(ℝ^{2n} \times S^1)$에 대한 이중 불변 거리함수를 정의한다.
• 이 거리함수가 비유계임을 증명하여, 이 그룹이 이러한 기하학적 구조에서 유계가 아님을 보여준다.
• 거리함수와 비팔라 부분순서 사이의 호환성을 확립하여, 양의 이sov타피에 의한 에너지의 단조성 보장을 한다.
• 정수의 역할을 명확히 하여, 비콤팩트 컨택트 다양체 위에 이산 거리함수를 구성함으로써 컨택트 강성에서 정수의 기여를 규명한다.

제안 방법

• S09에서 제안한 생성 함수 프레임워크를 적응하여 $ℝ^{2n} \times S^1$의 컨택트로지즘에 대한 불변량 $c^+$와 $c^-$를 정의한다.
• 정수 값을 갖는 $c^+$와 $c^-$ 불변량을 사용하여 거리함수 $d(\phi, \psi) = \lceil c^+(\phi \circ \psi^{-1}) \rceil + \lceil c^+(\psi \circ \phi^{-1}) \rceil$를 구성한다.
• 콤팩트한 지지집합을 가진 컨택트로지즘에 대해 $c^+$는 음이 아닌 값이고 $c^-$는 음이 아닌 값을 갖는다는 사실을 활용하며, 이는 지지집합 외부에 점이 존재하기 때문이다.
• S09에서 정의한 컨택트 용량 $c$와 관련된 에너지-용량 부등식을 적용하여 기하학적 관련성을 확보한다.
• 생성 해밀토니언의 성장률을 증가시킴으로써 에너지가 임의로 큰 정수가 되는 컨택트로지즘의 수열을 구성함으로써 비유계성을 증명한다.
• 거리함수가 이산 값을 갖기 때문에 미세하지 않으며, 자명한 노름과 동치가 아니지만, 안정적으로 비유계는 아님을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비터보의 심플렉틱 이중 불변 거리함수는 $ℝ^{2n} \times S^1$의 컨택트로지즘 그룹으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 이러한 확장이 정수 값만을 갖는 거리함수를 도출하는가? 이는 컨택트 강성의 이산적 성격을 반영하는가?
• RQ3 결과로 얻어진 거리함수가 비유계인가? 이는 컨택트 그룹 내의 비트리비얼 기하학적 복잡성의 징후인가?
• RQ4 거리함수는 비팔라 부분순서와 어떻게 상호작용하는가? 양의 이sov타피에 의한 에너지의 단조성은 유지되는가?
• RQ5 왜 이 구성은 1차원 경우($n=0$)에서 실패하는가? 이는 일반 이론에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• $\mathrm{Cont}_0^c(\mathbb{R}^{2n} \times S^1)$는 비유계인 정수 값을 갖는 이중 불변 거리함수 $d$를 갖는다.
• 거리함수 $d$는 생성 함수를 통해 구성되며, $d(\phi, \psi) = \lceil c^+(\phi \psi^{-1}) \rceil + \lceil c^+(\psi \phi^{-1}) \rceil$를 만족한다. 여기서 $c^+$와 $c^-$는 레전드리안 립트와 생성 함수를 사용하여 정의된다.
• 거리함수 $d$는 비팔라 부분순서 $\leq_B$와 호환되며, $(\mathrm{Cont}_0^c(\mathbb{R}^{2n} \times S^1), d)$는 부분순서가 있는 거리공간이 된다.
• 비음성 해밀토니언으로 생성된 이sov타피 동안 에너지는 감소하지 않는다. 이는 $\leq_B$와의 호환성에서 유도된다.
• 거리함수는 생성 해밀토니언의 성장률을 증가시킴으로써 컨택트로지즘의 에너지를 임의로 크게 만들 수 있기 때문에 비유계이다.
• 거리함수는 안정적으로 비유계는 아니며, 모든 $\phi$에 대해 $\lim_{n \to \infty} \frac{E(\phi^n)}{n} = 0$ 이다.