[논문 리뷰] An Inverse Problem for Non-linear Fractional Magnetic Schrodinger Equation

Ru-Yu Lai, Ting Zhou|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 15.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 55인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비선형 분수 마그네틱 슈뢰딩거 방정식에 대한 정방 문제의 잘 정의됨을 확립하고, Dirichlet-to-Neumann 맵으로부터 자기 벡터 포텐셜 $ A $ 와 비선형 전기 포텐셜 $ a(x,z) $ 를 유일하게 복원하는 것을 증명한다. 고차선형화된 DN 맵과 선형화된 방정식에 대한 새로운 최대원리(최대원리)를 이용하여, 저자들은 $ a $ 의 테일러 계수를 모든 차수까지 유일하게 재구성함으로써, 전체 비선형성과 게이지 등가성까지의 자기 포텐셜을 식별한다.

ABSTRACT

In this paper, we study forward problem and inverse problem for the fractional magnetic Schrodinger equation with nonlinear electric potential. We first investigate the maximum principle for the linearized equation and apply it to show that the problem is well-posed under suitable assumptions on the exterior data. Moreover, we explore uniqueness of recovery of both magnetic and electric potentials.

연구 동기 및 목표

• 비선형 분수 마그네틱 슈뢰딩거 방정식의 정방 문제에 대해 외부 데이터 조건 하에서 잘 정의됨을 확립한다.
• 자기 벡터 포텐셜 $ A $ 와 비선형 전기 포텐셜 $ a(x,z) $ 를 Dirichlet-to-Neumann (DN) 맵으로부터 유일하게 복원하는 역문제를 조사한다.
• 비국소적이고 비선형적이며 자기적 성질을 가진 분수 PDE에 대해 고차선형화 기법을 확장한다.
• 전체 비선형성 $ a(x,z) $, 즉 모든 테일러 계수를 DN 데이터로부터 유일하게 복원할 수 있음을 증명한다.
• 자기 포텐셜 $ A $ 가 DN 데이터로부터 게이지 등가성까지 유일하게 복원 가능하다는 것을 보여준다.

제안 방법

• 외부 데이터에 대한 적절한 가정 하에서 선형화된 분수 마그네틱 슈뢰딩거 방정식에 최대원리를 적용하여 잘 정의됨을 보장한다.
• DN 맵의 고차선형화를 이용하여 비선형 포텐셜 $ a(x,z) $ 의 테일러 계수에 대한 정보를 추출한다.
• 벡터 포텐셜 $ A $ 를 포함하는 비국소적 적분 정의를 통해 분수 마그네틱 슈뢰딩거 연산자 $ (-\Delta)_A^s $ 를 정의하며, 이는 장거리 이동을 갖는 랜덤 워크와 일관된다.
• DN 맵이 차수 $ k+1 $ 까지 일치할 경우, 해당 해와 비선형성도 그 정도까지 일치함을 보이기 위해 반복적 귀납법을 사용한다.
• 임의의 $ L^2 $ 함수를 컴팩트 지지 외부 데이터를 갖는 해로 근사하기 위해 룬제 근사 성질을 활용하여 재구성 과정에서 밀도 성질을 확보한다.
• 강한 최대원리를 사용하여 일阶 해 $ u^{(1)} $ 가 $ \Omega $ 내에서 엄밀히 양수임을 보장함으로써, 비선형 계수를 점별로 식별할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 분수 마그네틱 슈뢰딩거 방정식의 정방 문제가 적절한 외부 데이터 조건 하에서 잘 정의되는가?
• RQ2 DN 맵으로부터 자기 벡터 포텐셜 $ A $ 는 게이지 등가성까지 유일하게 복원 가능한가?
• RQ3 테일러 계수로 표현된 전체 비선형성 $ a(x,z) $ 는 DN 데이터로부터 유일하게 재구성 가능한가?
• RQ4 고차선형화 방법은 비국소적, 비선형적, 자기적 성질을 지닌 분수 PDE에 성공적으로 확장 가능한가?
• RQ5 최대원리는 해의 유일성과 선형화 과정의 타당성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 외부 데이터 및 포텐셜에 대한 적절한 가정 하에서, 비선형 분수 마그네틱 슈뢰딩거 방정식의 정방 문제가 잘 정의된다.
• 게이지 불변성에 따라 예상되는 바와 같이, 자기 벡터 포텐셜 $ A $ 는 DN 맵으로부터 게이지 등가성까지 유일하게 복원 가능하다.
• 두 번째 차수의 테일러 계수 $ \partial_z^2 a(x,0) $ 는 룬제 근사 성질을 활용한 밀도 추론을 통해 DN 맵으로부터 유일하게 결정된다.
• 귀납적 방법을 통해, 낮은 차수의 항들이 일치한다고 가정할 경우, $ k \geq 2 $ 인 모든 고차수 테일러 계수 $ \partial_z^k a(x,0) $ 가 DN 데이터로부터 유일하게 복원 가능하다.
• 각 차수 $ k $ 에 대해 해당하는 해 계층 $ u^{(k)} $ 는 DN 데이터와 알려진 낮은 차수의 항들에 의해 유일하게 결정되며, 재구성 과정의 일관성을 보장한다.
• 테일러 급수 계수들이 모두 귀납적으로 복원되었기 때문에, 전체 비선형성 $ a(x,z) $ 는 DN 맵으로부터 유일하게 식별된다.