[논문 리뷰] Analogs of Cuntz algebras on Lp spaces

N. Christopher Phillips|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 01.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 15인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 $p \in [1, \infty)$ 및 $d \geq 2$ 인 $L^p$ 공간 위에서 작용하는 Cuntz 대수의 유사체로, $\mathcal{O}_d^p$로 표기되는 새로운 범주적 바나흐 대수를 제안한다. 이 대수의 유일성, 단순성, 순수 무한성, 애너빌리티를 확립하고, 그 위상적 K-이론을 계산하여 $p_1 \neq p_2$ 이면 $\mathcal{O}_{p_1}^{d_1} \not\cong \mathcal{O}_{p_2}^{d_2}$ 임을 보이며, 동일한 초자연수를 가진 특수한 구조적 및 K-이론적 성질을 갖는 $L^p$ 유사 UHF 대수를 구성한다.

ABSTRACT

Graph algebras have been intensively studied in the C* and purely algebraic contexts. We propose another context: Banach algebras of operators on Lp spaces. We report on results on the analogs in this context of Cuntz algebras and UHF algebras. (The analogs of UHF algebras are needed for the proofs of some of the results on the analogs of Cuntz algebras.) For p ∈ [1, ∞) and d ∈ {2, 3, . . .}, we identify a “good” analog Odp of the Cuntz algebra Od which acts on spaces of the form Lp(X,μ). We prove uniqueness and simplicity of Odp. Unlike the C* case, these two results seem to be independent, and our proofs of the two results are entirely unrelated. We further prove that Odp is purely infinite and amenable as a Banach algebra, and we compute its topological K-theory, getting the expected answer. We prove that for d1,d2 ∈ {2,3,...} and for p1 ≠ p2, there is no nonzero continuous homomorphism from Op1 to Op2. We leave a number of problems open. In particular, we do pd1d2pp p not know whether the L spatial tensor product O2 ⊗p O2 is isomorphic to O2 for p ̸= 2. We prove that the “good” Lp analogs of UHF algebras are unique in a suitable sense, simple, amenable, have a unique continuous trace, and have the expected K-theory. We show that for each p and each supernatural number, there are uncountably many mutually nonisomorphic Lp UHF algebras with the same supernatural number and having all the properties given above except uniqueness and amenability. This talk will be primarily a survey, but will explain some of the key ideas.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 대수로서의 $L^p$ 공간 위에서 작용하는 Cuntz 대수의 유사체를 정의하고 연구하기.
• $d \geq 2$ 및 $p \in [1, \infty)$ 인 $L^p$ 유사체 $\mathcal{O}_d^p$ 의 유일성과 단순성을 확립하기.
• UHF 대수의 $L^p$ 유사체의 구조를 조사하며, 그 유일성, 단순성 및 애너빌리티를 포함한다.
• $\mathcal{O}_d^p$ 의 위상적 K-이론을 계산하고, $K_0 = \mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$ 및 $K_1 = 0$ 이라는 기대되는 결과와 일치함을 확인하기.
• $p_1 \neq p_2$ 일 때 $\mathcal{O}_{p_1}^{d_1}$ 과 $\mathcal{O}_{p_2}^{d_2}$ 가 서로 이sov모르피즘이 아니라는 것을 탐색하고, 동일한 초자연수를 가진 불가측한 많은 수의 서로 이sov모르피즘이 아닌 $L^p$ UHF 대수의 존재를 탐색하기.

제안 방법

• $\mathcal{O}_d^p$ 를 $L^p(X, \mu)$ 위의 연산자로 구성하며, 서로 수직인 범위를 가진 $d$ 개의 등장사상으로 생성된 바나흐 대수로 정의한다.
• $L^p$ 설정에 적합한 연산자 대수 기법을 사용하며, $p$-바나흐 대수 구조와 스펙트럼 분석을 포함한다.
• $L^p$ 연산자 대수의 범주에서의 유일성 성질을 통해 $\mathcal{O}_d^p$ 의 유일성을 증명한다.
• 트레이스나 아이디얼 구조에 의존하지 않는 직접적 접근을 통해 단순성을 증명하며, 이는 $C^*$-경우와 다릅니다.
• 유계 근사 항등원을 구성하고 바나흐 대수 코hom로지 기법을 사용하여 $\mathcal{O}_d^p$ 의 애너빌리티를 확립한다.
• 바나흐 대수에 적합한 $K$-이론적 불변량을 사용하여 위상적 $K$-이론을 계산하며, $K_0(\mathcal{O}_d^p) \cong \mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$ 및 $K_1(\mathcal{O}_d^p) = 0$ 이라는 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $p \in [1, \infty)$ 인 $L^p$ 연산자 대수의 맥락에서 Cuntz 대수 $\mathcal{O}_d$ 의 적절한 유사체는 무엇인가요?
• RQ2 $L^p$ 유사체 $\mathcal{O}_d^p$ 는 유일하고 단순한가요? 이 성질들은 $C^*$-경우와 마찬가지로 독립적으로 성립합니까?
• RQ3 $\mathcal{O}_d^p$ 의 위상적 $K$-이론은 무엇이며, 이는 $C^*$-대수 $\mathcal{O}_d$ 의 $K$-이론과 일치합니까?
• RQ4 $p_1 \neq p_2$ 일 때 $\mathcal{O}_{p_1}^{d_1}$ 과 $\mathcal{O}_{p_2}^{d_2}$ 사이에 0이 아닌 연속적 준동형사상이 존재합니까?
• RQ5 동일한 초자연수를 가진 서로 이sov모르피즘이 아닌 $L^p$ UHF 대수는 얼마나 존재하며, 어떤 구조적 성질을 공유합니까?

주요 결과

• $L^p$ 유사체 $\mathcal{O}_d^p$ 는 $L^p$ 연산자 대수의 범주에서의 유일성 성질에 의해 유일하게 특징지어진다.
• $d \geq 2$ 및 $p \in [1, \infty)$ 에 대해 모든 경우에 대해 바나흐 대수로서의 대수 $\mathcal{O}_d^p$ 는 단순하고 순수 무한하다.
• $\mathcal{O}_d^p$ 는 바나흐 대수로서 애너빌리티를 가지며, 유계 근사 항등원을 갖는다.
• $\mathcal{O}_d^p$ 의 위상적 $K$-이론은 $K_0(\mathcal{O}_d^p) \cong \mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$ 및 $K_1(\mathcal{O}_d^p) = 0$ 이며, 이는 $C^*$-경우와 일치한다.
• $p_1 \neq p_2$ 일 때 $\mathcal{O}_{p_1}^{d_1}$ 에서 $\mathcal{O}_{p_2}^{d_2}$ 로의 0이 아닌 연속적 준동형사상이 존재하지 않으며, 이는 대수적 구조의 강한 $p$-의존성을 시사한다.
• 각 $p$ 와 초자연수에 대해, 동일한 초자연수를 가진 서로 이sov모르피즘이 아닌 불가측한 많은 수의 $L^p$ UHF 대수가 존재하며, 이들은 단순성, 유일한 연속적 추적, 기대되는 $K$-이론을 공유하지만, 유일성이나 애너빌리티는 공유하지 않는다.