[논문 리뷰] Analysis and Application of Optimal Transport For Challenging Seismic Inverse Problems

Yunan Yang|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 04.

Seismic Imaging and Inversion Techniques참고 문헌 55인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 전파형역산(FWI)에서 전통적인 L² 기반 FWI의 세 가지 주요 과제인 국소 최소값, 노이즈 민감도, 깊은 반사면 아래의 하부지층 속도 구조 복원 불량을 극복하기 위해 이차 Wasserstein 거리(W₂)를 강력한 오차 측정 척도로 사용할 것을 제안한다. 최적 운반 이론을 활용함으로써 W₂는 진폭과 단위 위상 차이를 모두 포착할 수 있으며, 이는 안정적이고 볼록 유사 수렴과 반사파 지배 데이터에서도 하부 반사 속도 구조의 성공적인 복원을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In seismic exploration, sources and measurements of seismic waves on the surface are used to determine model parameters representing geophysical properties of the earth. Full-waveform inversion (FWI) is a nonlinear seismic inverse technique that inverts the model parameters by minimizing the difference between the synthetic data from the forward wave propagation and the observed true data in PDE-constrained optimization. The traditional least-squares method of measuring this difference suffers from three main drawbacks including local minima trapping, sensitivity to noise, and difficulties in reconstruction below reflecting layers. Unlike the local amplitude comparison in the least-squares method, the quadratic Wasserstein distance from the optimal transport theory considers both the amplitude differences and the phase mismatches when measuring data misfit. We will briefly review our earlier development and analysis of optimal transport-based inversion and include improvements, for example, a stronger convexity proof. The main focus will be on the third "challenge" with new results on sub-reflection recovery.

연구 동기 및 목표

• 저주파수 데이터가 부재하거나 초기 모델이 열악한 경우에도 지속적인 국소 최소값 문제를 해결하기 위해 L² 기반 전파형역산(FWI)의 과제를 해결한다.
• 고주파수 노이즈에 민감한 L² 오차 측정이 아티팩트를 증폭시키고 역산 품질을 떨어뜨리는 문제를 완화한다.
• 도약파가 없고 반사파에 의존하는 상황에서 깊은 반사면 아래의 저파수 속도 구조를 정확히 복원할 수 있도록 한다.
• 특히 깊은 지층 구조를 재구성하는 데서 L²-FWI보다 더 빠르고 정확한 모델 수렴을 달성하는 W₂ 기반 FWI의 성능을 입증한다.
• W₂가 표준 L² 노름에 비해 지구물리학적 역문제에서 더 뛰어난 볼록성과 안정성을 제공한다는 이론적 및 수치적 증거를 확립한다.

제안 방법

• 전파형역산(FWI)에서 표준 L² 오차 함수를 이차 Wasserstein 거리(W₂)로 대체하여, 최적 운반 이론을 통해 진폭과 위상 차이를 모두 고려한 오차 측정을 수행한다.
• 누적분포함수(CDF)와 그 역함수를 통한 1차원 명시적 W₂ 계산을 활용하여 최적화 루프 내에서 효율적인 기울기 계산을 가능하게 한다.
• 신호 이동과 확대에 대한 W₂에 대한 더 엄밀한 볼록성 정리 적용을 통해 모델 업데이트의 향상된 수렴 행동을 증명한다.
• 저주파 성분의 잔차를 먼저 보정하고 고주파 성분을 이후에 보정하는 계층적 오차 보정 메커니즘을 도입하여 다중 척도 최적화 전략을 모방한다.
• 합성 데이터와 관측 데이터가 가까워질 경우 W₂가 가중 H⁻¹ 노름과 동일시됨을 활용하여 안정적이고 부드러운 수렴을 보장한다.
• 층상 모델과 2004년 BP 석유층 모델을 대상으로 대규모 수치 실험을 수행하여 W₂-FWI의 성능을 L²-FWI와 비교함으로써 오차 측정, 모델 오차, 수렴 속도 측면에서 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이차 Wasserstein 거리(W₂)는 지구물리학 탐사에서 전파형역산(FWI)에 대해 L²보다 더 볼록적이고 안정적인 목적 함수로 기능할 수 있는가?
• RQ2 저주파수 데이터가 없거나 초기 모델이 열악한 상황에서 W₂ 기반 FWI는 국소 최소값 문제를 완화하는가?
• RQ3 W₂ 기반 FWI는 L² 기반 FWI에 비해 노이즈에 더 강건한가?
• RQ4 오직 반사파 데이터만 이용 가능한 상황에서 W₂ 기반 FWI는 가장 깊은 반사면 아래의 속도 구조를 성공적으로 복원할 수 있는가?
• RQ5 W₂-FWI에서 잔차 보정의 계층적 행동은 무엇이며, 저파수 모델 성분 복원과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• W₂ 기반 FWI는 150회 반복만으로 L²-FWI가 1800회 반복 후에 달성하는 모델 오차 감소량의 두 배 이상을 줄였다.
• 합성 데이터와 관측 데이터가 가까워질 경우 W₂는 가중 H⁻¹ 노름과 동일시되며, 이는 최적화 과정에서 안정적이고 부드러운 수렴을 보장한다.
• 3층 모델 테스트에서 W₂-FWI는 저주파 수축 잔차를 먼저 보정하고 고주파 잔차를 이후에 보정함으로써 체계적이고 안정적인 모델 업데이트를 가능하게 하였다.
• BP 석유층 모델의 역산 결과에서 W₂-FWI는 가장 깊은 반사면 아래의 층 두께와 속도를 성공적으로 재구성하였으며, L²-FWI는 사이클 스트래핑과 낮은 수렴 성능로 실패하였다.
• 잔차의 푸리에 분석 결과, W₂-FWI는 부드러운 모드 오차를 먼저 보정하고 진동 모드 오차는 부드러운 성분이 최소화된 후에만 보정함을 보여주어 계층적·다중 척도 최적화 행동을 확인하였다.
• 신호 이동 및 확대에 대한 W₂에 대한 향상된 볼록성 정리가 이론적 강건성과 다양한 시간 이동 및 스케일링을 가진 지구물리학 데이터에 대한 더 넓은 적용 가능성을 확인하였다.