[논문 리뷰] Analysis of a positivity-preserving splitting scheme for some nonlinear stochastic heat equations

Charles-Édouard Bréhier, David Cohen외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 02. 17.

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance참고 문헌 68인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다중 공간-시간 백색 잡음이 있는 비선형 스토케스틱 히트 방정식에 대해 유한 차분법과 함께 양수성 보존 Lie–Trotter 분할 스킴을 제안한다. 이 스킴은 CFL 조건 하에서 시간에 대해 1/4, 공간에 대해 1/2의 평균 제곱 수렴 속도를 보장하며, 기존 방법이 실패하는 수치 시뮬레이션에서도 양수성을 유지한다.

ABSTRACT

We construct a positivity-preserving Lie--Trotter splitting scheme with finite difference discretization in space for approximating the solutions to a class of nonlinear stochastic heat equations with multiplicative space-time white noise. We prove that this explicit numerical scheme converges in the mean-square sense, with rate $1/4$ in time and rate $1/2$ in space, under appropriate CFL conditions. Numerical experiments illustrate the superiority of the proposed numerical scheme compared with standard numerical methods which do not preserve positivity.

연구 동기 및 목표

• 다중 공간-시간 백색 잡음이 있는 비선형 스토케스틱 히트 방정식의 해의 양수성을 보존하는 수치적 스킴을 개발하는 것.
• 적절한 CFL 조건 하에서 완전 이산화된 분할 스킴의 평균 제곱 수렴을 분석하는 것.
• 디리클레 경계 조건이 있는 컴 pact 도메인에서 스토케스틱 편미분 방정식(SPDE)에 대한 양수성 보존 수치 방법의 부족을 해결하는 것.
• 물리적 일관성을 유지하면서 계산 효율성이 높고 명시적인 시간 적분기를 제공하는 것.

제안 방법

• Lie–Trotter 분할 전략은 SPDE를 결정론적 및 스토케스틱 하위계로 분해하여 각 하위문제의 정확하거나 반정적 해법을 가능하게 한다.
• 결정론적 부분은 중심 유한 차분법을 사용해 공간 이산화되며, 라플라스 연산자는 행렬 $ N^2 D^N $ 로 근사된다.
• 스토케스틱 부분은 각 시간 단계에서 비선형성 계수 $ f(u_{m,n}^{ ext{LT}}) $ 를 동결함으로써 기하 브라운 motion으로 정확히 해결된다.
• 시간 적분은 명시적 재귀식을 사용한다: $ u_{m+1}^{ ext{LT}} = \exp(\tau N^2 D^N) \hat{u}_{m+1}^{ ext{LT}} $, 여기서 $ \hat{u}_{m+1,n}^{ ext{LT}} $ 는 스토케스틱 지수 항을 포함한다.
• 이 스킴은 전역 리프시츠 비선형성을 갖는 스칼라 및 시스템 형태의 스토케스틱 히트 방정식에 적용된다.
• 수렴 분석은 $ g $ 가 전역 리프시츠이자 $ C^1 $ 이며 $ g(0) = 0 $ 를 만족하고, 초기 자료 $ u_0 \geq 0 $ 라는 조건 하에 수행된다.

(a) $g(v)=v$

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전 이산화된 분할 스킴이 다중 공간-시간 백색 잡음이 있는 비선형 SPDE의 해의 양수성을 보존할 수 있는가?
• RQ2 이러한 SPDE에 대해 명시적인 양수성 보존 스킴의 평균 제곱 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 제안된 스킴은 유한 차분법과 같은 표준 방법보다 양수성 유지에서 어떻게 비교되는가?
• RQ4 표준 CFL 조건 하에서 이 스킴은 안정성과 수렴성을 유지하는가?
• RQ5 분할 접근법은 상호 연결된 스토케스틱 히트 방정식의 시스템으로 확장될 수 있으며, 이때도 양수성을 유지하는가?

주요 결과

• 제안된 Lie–Trotter 분할 스킴은 적절한 CFL 조건 하에서 시간에 대해 $ 1/4 $, 공간에 대해 $ 1/2 $ 의 평균 제곱 수렴 속도를 달성한다.
• 수치 실험 결과, Lie–Trotter 스킴은 500개의 샘플 경로 중 500개에서 양수성을 유지하는 반면, Euler–Maruyama 스킴은 이와 관련해 완전히 실패한다.
• 스토케스틱 지수 오일러 및 반암시적 오일러–마루야마 스킴은 각각 99.8%와 99.2%의 샘플에서 양수성을 유지하지만, 여전히 제안된 스킴에 비해 일관성과 안정성에서 열등하다.
• 이 스킴은 계산 효율성이 뛰어나며 명시적이라 각 시간 단계에서 비선형 시스템을 풀 필요가 없다.
• 연속 및 이산 그린 함수의 차이에 대한 엄밀한 추정을 통해 시간 이산화 오차에 대해 $ \mathcal{O}(\tau^{1/2}) $ 의 유계를 확보함으로써 수렴 분석이 뒷받침된다.
• 이 방법은 디리클레 경계 조건이 있는 컴 pact 도메인에서 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 비선형 SPDE에 대해 알려진 바 없는 첫 번째 양수성 보존 수치 스킴이다.

(b) $g(v)=\frac{v}{(1+v^{2})}$