[논문 리뷰] Analysis of some generalized ABC- fractional logistic models

Thabet Abdeljawad, Mohamed Ali Hajji외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 15.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Caputo 유형 분수도 도함수에 다중 매개변수 Mittag-Leffler 핵을 사용하여 일반화된 ABC-분수 로지스틱 모델을 도입하고 분석한다. 존재성 및 유일성 정리, 평형점의 변화에 의한 안정성 분석을 수립하며, 수치 시뮬레이션 결과로는 γ 또는 α가 클수록 평형점에 수렴하는 것이 빨라지고, μ가 클수록 느려지며, γ 또는 α가 증가함에 따라 초기 시점에 진동이 발생하는 것으로 나타났다.

ABSTRACT

In this article, some logistic models in the settings of Caputo fractional operators with multi-parametered Mittag-Leffer kernels (ABC) are studied. This study mainly focuses on modified quadratic and cubic logistic models in the presence of a Caputo type fractional derivative. Existence and uniqueness theorems are proved and stability analysis is discussed by perturbing the equilibrium points. Numerical illustrative examples are discussed for the studied models.

연구 동기 및 목표

• 기존의 로지스틱 모델을 다중 매개변수 Mittag-Leffler 핵을 가진 일반화된 ABC-분수 도함수의 프레임워크로 확장하기.
• 이 새로운 분수 도함수에 대한 수정된 이차 및 삼차 로지스틱 방정식의 해의 존재성과 유일성 조사하기.
• 변형 기법을 통해 평형점의 안정성 분석하기.
• 분수 매개변수(α, μ, γ)가 해 궤적과 수렴 역학에 미치는 영향을 수치적으로 시연하기.

제안 방법

• 다중 매개변수 Mittag-Leffler 핵을 가진 일반화된 왼쪽 방향 ABC-분수 도함수를 사용하며, 이는 $ E^{ ho}_{ heta,eta}( heta, t) $를 포함하는 적분으로 정의된다.
• 일반화된 AB 분수 적분 연산자를 적용하여 ABC 도함수를 반전시키고, 적분 방정식을 통한 해 표현을 가능하게 한다.
• 이산 컨볼루션과 $ sum_{k=0}^{ inf} (h^{ heta k - u + 1} A_{k}^{ heta, u, ho}) ilde{r}^{m}_{k,j} $를 이용한 재귀적 계수 계산 기반의 수치적 방법을 활용한다.
• 암시적 수치적 스킴을 유도한다: $ x_m = x_0 + sum_{j=0}^{m} ilde{c}^{m}_{j} f_j $, 여기서 $ f_j $는 단계 j에서 평가된 비선형 함수이다.
• 일반화된 ABC 도함수의 성질인 $ {}^{AB}I^{ heta, u, ho} {}^{ABC}D^{ heta, u, ho} u(t) = u(t) - u(t_0) $을 이용하여 해의 형태를 도출한다.
• 고정된 매개변수(r=0.5, K=2)를 사용하고 α, μ, γ 및 초기 조건 $ x_0 $를 변화시켜 수렴성과 진동 행동을 연구하기 위해 수치 시뮬레이션을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 ABC-분수 도함수의 매개변수 α, μ, γ는 로지스틱 모델의 해의 존재성과 유일성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 일반화된 ABC-분수 로지스틱 모델에서 평형점(x=0 및 x=2)의 안정성 행동은 어떠한가?
• RQ3 초기 조건 $ x_0 $는 안정 평형점으로의 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 γ 및 α 매개변수는 초기 시간 진화 동안 해 궤적에 진동 행동을 유도하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 매개변수 μ는 해가 평형 상태에 도달하는 데 소요되는 시간에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 초기 값 $ x_0 $에 대해 해 궤적이 평형점 $ x_2 = 2 $로 점 渐진적으로 수렴함을 확인하여, $ x_2 = 2 $가 점 渐진적으로 안정하고 $ x_1 = 0 $은 불안정함을 입증한다.
• 매개변수 $ \nu $가 작을수록 수렴 속도가 빨라지며, 이는 낮은 $ \nu $ 값이 평형 상태에 도달하는 데 가속 작용을 함을 시사한다.
• 매개변수 $ \rho $를 1.0에서 3.0으로 증가시키면 평형에 도달하는 데 소요되는 시간이 감소하고, 초기 단계에서 진동 행동가 발생한다.
• 분수 차수 $ \alpha $를 0.7에서 0.99로 증가시키면 해가 평형에 도달하는 데 소요되는 시간이 감소하여, 더 높은 $ \alpha $일수록 수렴 속도가 빨라짐을 나타낸다.
• 초기 조건 $ x_0 $가 안정 평형점 $ x_2 = 2 $에 가까울수록 수렴 속도가 더 빨라지며, 이는 초기 값에 강한 의존성을 보임을 시사한다.
• 매개변수 $ \rho $ 또는 $ \alpha $가 증가할수록 초기 시점에서 진동 행동이 관찰되며, 이는 이러한 매개변수의 높은 값이 수렴 전 임시 진동을 유도함을 나타낸다.