[논문 리뷰] Approximability Landscape of Welfare Maximization within Fair Allocations

Xiaolin Bu, Zihao Li외 3명|arXiv (Cornell University)|2022. 05. 28.

Game Theory and Voting Systems인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 불가분 물품의 정당한 배분에서 임의의 항목에 대해 선호 없음(EFX) 및 한 개 항목에 대해 선호 없음(EF1) 제약 조건 하에서 사회적 복지 최대화의 복잡도와 근사 가능성에 대한 종합적인 분석을 제공한다. 두 명의 에이전트에 대해 EFX 하에서 다항식 시간 근사 계획(Ptas)을 확립하였으며, 비정규화된 평가 기준 하에서 일반적인 $n$에 대해 $O(n)$-근사, 정규화된 평가 기준 하에서 $O(\sqrt{n})$-근사를 제안하였으며, 엄밀한 근사 불가능성 경계를 도출하였다. 정규화된 평가 기준 하에서 EFX의 가격이 $\Theta(\sqrt{n})$임을 입증하여 오랫동안 열려 있던 문제를 해결하였다.

ABSTRACT

Fair allocation of indivisible goods studies allocating $m$ goods among $n$ agents in a fair manner. While fairness is a fundamental requirement in many real-world applications, it often conflicts with (economic) efficiency. This raises a natural and important question: How can we identify the most welfare-efficient allocation among all fair allocations? This paper answers from the perspective of computational complexity. Specifically, we study the problem of maximizing utilitarian social welfare under two widely studied fairness criteria: envy-freeness up to any item (EFX) and envy-freeness up to one item (EF1). We examine both normalized and unnormalized valuations, where normalized valuations require that each agent's total utility for all items is identical. The key contributions of this paper can be summarized as follows: (i) we sketch the complete complexity landscape of welfare maximization subject to fair allocation constraints; and (ii) we provide interesting bounds on the price of fairness for both EFX and EF1. Specifically: (1) For $n=2$ agents, we develop polynomial-time approximation schemes (PTAS) and provide NP-hardness results for EFX and EF1 constraints; (2) For $n>2$ agents, under EFX constraints, we design algorithms that achieve approximation ratios of $O(n)$ and $O(\sqrt{n})$ for unnormalized and normalized valuations, respectively. These results are complemented by asymptotically tight inapproximability results. We also obtain similar results for EF1 constraints; (3) When the number of agents is a fixed constant, we show that the optimal solution can be computed in polynomial time by slightly relaxing the fairness constraints, whereas exact fairness leads to strong inapproximability; (4) Furthermore, our results imply the price of EFX is $Θ(\sqrt{n})$ for normalized valuations, which is unknown in the literature.

연구 동기 및 목표

• 불가분 물품 배분에서 EFX 및 EF1 정당성 제약 조건 하에서 사회적 복지 최대화의 계산 복잡도와 근사 가능성 이해하기.
• 특히 정규화된 평가 기준 하에서 EFX의 가격에 관한 열린 문제 해결하기.
• 다양한 평가 유형에 걸쳐 EFX 및 EF1 설정에서 엄밀한 성능 보장을 갖춘 근사 알고리즘 개발하기.

제안 방법

• EFX의 구조적 성질과 항목 순서에 대한 동적 프로그래밍을 활용하여 두 에이전트 EFX 할당에 대한 PTAS 설계.
• 가치 기반 분할 전략을 사용한 근사 알고리즘으로 일반적인 $n$에 대해 비정규화된 평가 기준 하에서 $O(n)$-근사 도출.
• 대칭성과 가치 정규화를 활용하여 유틸리티 격차를 제한함으로써 정규화된 평가 기준 하에서 $O(\sqrt{n})$-근사 알고리즘 제안.
• 최대 독립 집합 문제로부터의 감소를 통해 EFX 및 EF1 설정 모두에 대한 엄밀한 근사 불가능성 결과 증명.
• 이중 기준 근사 불가능성 결과를 활용하여, P=NP가 아닐 경우 $(n^{1-\varepsilon}, 0.5+\varepsilon)$-근사가 존재하지 않음을 입증.
• 최적의 사회적 복지(제약 없음)와 EFX/EF1 제약 조건 하에서 달성 가능한 최대 복지 간 비교를 통해 정당성의 가격 분석.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 명의 에이전트에 대해 EFX 할당 하에서 사회적 복지 최대화의 근사 가능성은 어떠한가? 그리고 PTAS가 존재하는가?
• RQ2 정규화된 평가 기준과 비정규화된 평가 기준 하에서 $n > 2$명의 에이전트에 대해 EFX 및 EF1 할당의 엄밀한 근사 비율은 무엇인가?
• RQ3 정규화된 평가 기준 하에서 EFX의 가격은 무엇이며, EF1의 가격과 비교해보면 어떠한가?
• RQ4 부분적인 EFX 할당은 완전한 EFX 할당보다 더 높은 사회적 복지를 얻을 수 있는가? 이는 근사 알고리즘에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 EFX 및 EF1 제약 조건 하에서 사회적 복지 최대화의 근사 불가능성 경계는 무엇인가?

주요 결과

• 두 명의 에이전트에 대해 EFX 하에서 사회적 복지 최대화에 대해 다항식 시간 근사 계획(Ptas)이 존재하며, 정확한 최적화는 NP-난해임을 입증.
• 일반적인 $n>2$에 대해 비정규화된 평가 기준 하에서 $O(n)$-근사, 정규화된 평가 기준 하에서 $O(\sqrt{n})$-근사가 EFX 하에서 달성됨.
• 정규화된 평가 기준 하에서 EFX의 가격은 $\Theta(\sqrt{n})$이며, 이는 문헌에서 오랫동안 열려 있던 문제를 해결함.
• 비정규화된 평가 기준 하에서 EFX의 가격은 $\Theta(n)$이며, 이는 정당성 제약 조건으로 인한 최악의 손실과 일치함.
• EF1에 대해선 $n=2$에 대해 완전한 다항식 시간 근사 계획(FPTAS)이 존재하지만, $n>2$에 대해 다항식 근사 불가능성 경계가 확립됨.
• EFX의 근사 불가능성은 엄밀함: P=NP가 아닐 경우 $(n^{1-\varepsilon}, 0.5+\varepsilon)$-이중 기준 근사가 존재하지 않음.