[논문 리뷰] Approximating Maximin Shares with Mixed Manna.

Rucha Kulkarni, Ruta Mehta외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 17.

Game Theory and Voting Systems참고 문헌 34인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 혼합 만나(mixed manna) — 항목이 일부는 선호되는 재화(goods)이고 일부는 부담스러운 일감(chores)일 수 있는 상황 — 에서 최대최소공유(MMS) 할당을 근사하기 위한 PTAS를 제안한다. 이는 두 가지 핵심 조건 하에 성립한다: 일정한 수의 참가자와 각 참가자에 대해 재화와 일감 간의 가치 격차가 크다는 조건이다. 논문은 이러한 조건이 없을 경우 문제는 NP-난해해지며, 일정한 참가자 수를 가진 재화 전용 또는 일감 전용 설정에서 열려 있던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We initiate the study of fair allocations of a mixed manna under the popular fairness notion of maximin share (MMS). A mixed manna allows an item to be a good for some agents and chore for others, hence strictly generalizes the well-studied goods (chores) only manna. For the good manna, Procaccia and Wang [PW14] showed non-existence of MMS allocation. This prompted works on finding an $\alpha$-MMS allocation. A series of works obtained efficient algorithms, improving $\alpha$ to $\frac{3}{4}$ for $n\ge 5$ agents. Computing an $\alpha$-MMS allocation for the maximum $\alpha$ for which it exists is known to be NP-hard. But the question of finding $\alpha$-MMS for the near best $\alpha$ remains unresolved. We make significant progress towards this question for mixed manna by showing a striking dichotomy: We derive two conditions and show that the problem is tractable under these, while dropping either renders the problem intractable. The conditions are: $(i)$ number of agents is constant, and $(ii)$ for every agent, her total value for goods differs significantly from that for chores. For instances satisfying $(i)$ and $(ii)$ we design a PTAS - an efficient algorithm to find $(\alpha-\epsilon)$-MMS allocation given $\epsilon>0$ for the best possible $\alpha$. We also show that if either condition is not satisfied then finding $\alpha$-MMS for any $\alpha\in(0,1]$ is NP-hard, even when solution exists for $\alpha=1$. As a corollary, our algorithm resolves the open question of designing a PTAS for the goods only setting with constantly many agents (best known $\alpha=\frac{3}{4}$), and similarly also for chores only setting. In terms of techniques, we use market equilibrium as a tool to solve an MMS problem, which may be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 일정한 수의 참가자 수를 가진 재화 전용 또는 일감 전용 설정에서 MMS 할당을 위한 PTAS를 설계하는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 혼합 만나에서 항목이 일부 참가자에게는 재화이고 일부 참가자에게는 일감일 수 있을 때, MMS 근사가 어떤 조건에서 가능해지는지를 규명하기 위해.
• 유사한 조건이 충족될 때만 MMS 근사가 다루기 쉬운지 여부를 명확히 하는 날카로운 이분법을 설정하기 위해.
• 어느 한 조건이라도 생략될 경우, 완벽한 MMS 할당이 존재하더라도 문제의 NP-난해성이 유지됨을 보여주기 위해.
• 시장 균형을 MMS 문제 해결에 새로운 방식으로 활용하는 방법을 제안하며, 이는 이 논문을 넘어서도 적용 가능할 수 있다.

제안 방법

• 두 가지 핵심 조건(일정한 참가자 수, 각 참가자에 대해 재화와 일감 간의 가치 격차)을 만족할 경우, 임의의 ε>0에 대해 (α−ε)-MMS 할당을 계산하는 PTAS를 제안한다.
• 시장 균형 프레임워크를 사용하여 MMS 할당 문제를 모델링하고, 경쟁적 균형 개념을 활용해 참가자들의 평가를 균형 있게 조정한다.
• 연속적인 시장 균형 해를 이산적 할당으로 변환하는 라운딩 절차를 설계하여 MMS 기준에 가까운 할당을 확보한다.
• 두 조건이 만족될 경우, 시장 균형이 최적의 α-MMS 값에 임의로 가까운 해를 제공함을 증명한다.
• 기존의 알려진 NP-난해 문제로의 감소를 통해 경직성 결과를 도출하여, 어느 한 조건이라도 생략될 경우 문제의 비가역성이 증명됨을 보인다.
• 각 참가자의 재화 총가치와 일감 총가치를 비교하여 가치 격차 조건을 분석함으로써, 알고리즘의 실행 가능성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일정한 참가자 수를 가진 재화 전용 또는 일감 전용 설정에서 MMS 할당을 위한 PTAS를 설계할 수 있는가?
• RQ2 참가자 평가에 어떤 구조적 조건이 존재할 경우 혼합 만나에서 MMS 근사가 다루기 쉬운가?
• RQ3 완벽한 할당이 존재하더라도 MMS 근사가 NP-난해가 되는 명확한 임계점이 존재하는가?
• RQ4 시장 균형 개념을 MMS 할당과 같은 공정 분배 문제 해결에 효과적으로 재사용할 수 있는가?
• RQ5 참가자 수 조건 또는 가치 격차 조건을 제거할 경우 MMS 할당의 복잡도는 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 일정한 참가자 수와 각 참가자의 재화 총가치가 일감 총가치와 현저히 다를 경우, 혼합 만나에서 α-MMS 할당을 위한 PTAS가 존재한다.
• 어느 한 조건이라도 생략될 경우, 어떤 α∈(0,1]에 대해서도 α-MMS 할당을 찾는 것이 NP-난해해지며, 이는 완벽한 1-MMS 할당이 존재하더라도 마찬가지다.
• 제안된 알고리즘은 임의의 ε>0에 대해 (α−ε)-MMS 할당을 달성한다. 여기서 α는 주어진 조건 하에서 도달 가능한 최고의 근사 비율이다.
• 이 결과는 일정한 참가자 수를 가진 재화 전용 또는 일감 전용 설정에서 PTAS를 설계하는 열린 문제를 해결하며, 이전까지의 최고 성능 α=3/4를 초월한다.
• 시장 균형을 MMS 할당에 활용하는 방법이 효과적임을 입증하였으며, 이는 공정 분배 분야에서 새로운 알고리즘 접근법을 유도할 수 있다.
• 유연성과 비가역성 사이의 이분법은 명확하다: 두 조건이 동시에 필요하고 충분하다.