[논문 리뷰] Approximating Nash Social Welfare under Submodular Valuations through (Un)Matchings

Jugal Garg, Pooja Kulkarni외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 28.

Game Theory and Voting Systems인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비대칭적 에이전트와 가산적 평가 기준에 대해 $O(n)$의 근사율을 달성하는 SMatch, 그리고 하위모듈라 평가 기준에 대해 $O(nackslash\log n)$의 근사율을 달성하는 RepReMatch라는 두 가지 새로운 근사 알고리즘을 제안한다. 이들의 근사율은 항목 수에 관계없이 성립한다. 알고리즘은 높은 가치를 지닌 항목의 해제 및 재할당을 반복하는 그레디 반복 매칭 프레임워크를 사용하며, SMatch는 추가로 한 개 항목을 제외한 상황에서의 선호 없음(EF1)을 보장한다.

ABSTRACT

We study the problem of approximating maximum Nash social welfare (NSW) when allocating m indivisible items among n asymmetric agents with submodular valuations. The NSW is a well-established notion of fairness and efficiency, defined as the weighted geometric mean of agents' valuations. For special cases of the problem with symmetric agents and additive(-like) valuation functions, approximation algorithms have been designed using approaches customized for these specific settings, and they fail to extend to more general settings. Hence, no approximation algorithm with factor independent of m is known either for asymmetric agents with additive valuations or for symmetric agents beyond additive(-like) valuations. In this paper, we extend our understanding of the NSW problem to far more general settings. Our main contribution is two approximation algorithms for asymmetric agents with additive and submodular valuations respectively. Both algorithms are simple to understand and involve non-trivial modifications of a greedy repeated matchings approach. Allocations of high valued items are done separately by un-matching certain items and re-matching them, by processes that are different in both algorithms. We show that these approaches achieve approximation factors of O(n) and O(n log n) for additive and submodular case respectively, which is independent of the number of items. For additive valuations, our algorithm outputs an allocation that also achieves the fairness property of envy-free up to one item (EF1). Furthermore, we show that the NSW problem under submodular valuations is strictly harder than all currently known settings with an e/(e-1) factor of the hardness of approximation, even for constantly many agents. For this case, we provide a different approximation algorithm that achieves a factor of e/(e-1), hence resolving it completely.

연구 동기 및 목표

• 비대칭적 에이전트와 가산적 평가 기준에 대해 항목 수에 의존하지 않는 근사 알고리즘의 부족을 해결하기 위해.
• 대칭적 에이전트와 가산 유사 평가 함수를 초월하여 나시 사회후생(NSW)의 이해를 확장하기 위해.
• 일반적인 하위모듈라 평가 기준과 비대칭적 에이전트 가중치를 처리할 수 있는 간단하고 효과적인 알고리즘을 설계하기 위해.
• 하위모듈라 NSW 문제에 대해 엄밀한 근사 보장과 난이도 결과를 수립하기 위해.
• 비대칭 NSW 근사 설정에서 EF1과 같은 공정성 성질이 유지되는지 조사하기 위해.

제안 방법

• 가산적 평가 기준을 위한 SMatch를 제안한다. 이는 고가치 항목의 해제 및 재할당을 반복하는 그레디 반복 매칭 알고리즘이다.
• 하위모듈라 평가 기준에 특화된 SMatch의 변형인 RepReMatch를 도입한다. 이는 동적 재할당을 포함한 반복 매칭을 사용한다.
• 에이전트 가중치 $\eta_i$를 포함한 가중치가 부여된 기하평균 형태의 NSW를 목적 함수로 사용한다.
• 각 반복 단계에서 최대 가중치 매칭 절차를 적용하여 고가치 할당을 우선시하면서도 공정성과 효율성을 유지한다.
• 부적절한 할당을 수정하고 전체 NSW 근사율을 향상시키기 위해 해제 단계를 통합한다.
• 항목 할당의 구조적 분석과 평가의 하위모듈라 성질을 바탕으로 근사 한계를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비대칭적 에이전트와 가산적 평가 기준에 대해 항목 수에 의존하지 않는 근사 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 하위모듈라 평가 기준으로의 NSW 근사 일반화는 좋은 근사율을 유지할 수 있는가?
• RQ3 비대칭 하위모듈라 NSW 문제의 본질적 난이도는 무엇이며, 엄밀한 근사 알고리즘으로 해결될 수 있는가?
• RQ4 SMatch 알고리즘이 대칭 설정에서 비대칭 설정보다 더 높은 성능을 보이는가?
• RQ5 비대칭적 에이전트와 가산적 평가 기준에 대해 EF1과 같은 공정성 보장이 NSW 근사에서 유지될 수 있는가?

주요 결과

• SMatch는 항목 수에 관계없이 비대칭적 에이전트와 가산적 평가 기준에 대해 $O(n)$의 근사율을 달성한다.
• RepReMatch는 항목 수에 관계없이 비대칭적 에이전트와 하위모듈라 평가 기준에 대해 $O(n\log n)$의 근사율을 달성한다.
• SMatch 알고리즘은 가산적 경우에서 EF1(한 개 항목을 제외한 상황에서의 선호 없음) 공정성 성질을 보장한다.
• 에이전트 수가 일정할 경우, 하위모듈라 NSW에 대해 $\frac{e}{e-1}$의 엄밀한 근사 알고리즘을 제공하며, 이는 알려진 근사 난이도와 일치한다.
• 하위모듈라 NSW 문제가 이전에 연구된 모든 설정보다 더 엄격하게 더 어렵다는 것이 입증되었으며, 난이도 요소는 $\frac{e}{e-1}$이다.
• 예시를 통해 SMatch의 근사 비율이 최악의 경우 $2/n$에 가까워질 수 있음을 보여주며, 이는 $O(n)$의 경계가 상수 배수까지 엄밀하다는 것을 시사한다.