[논문 리뷰] Arbitrage-free pricing of American options in nonlinear markets

Edward Kim, Tianyang Nie외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 27인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 후행 확률 미분 방정식(Backward Stochastic Differential Equations, BSDEs)을 사용하여 비선형 금융 시장에서 미국식 복권의 무위험 가격 설정 프레임워크를 개발한다. 발행자에 대한 손익이 상쇄되는 시간과 옵션 소지자의 합리적 행사 시간이 일치하는 조건을 규명하여, 일반적인 동역학과 디폴트 리스크를 수반하는 비선형 설정으로 고전적 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We re-examine and extend the findings from the recent paper by Dumitrescu, Quenez and Sulem (2018) who studied American and game options in a particular market model using the nonlinear arbitrage-free pricing approach developed in El Karoui and Quenez (1997). In the first part, we provide a detailed study of unilateral valuation problems for the two counterparties in an American-style contract within the framework of a general nonlinear market. We extend results from Bielecki and Rutkowski (2015) and Bielecki, Cialenco and Rutkowski (2018) who examined the case of a European-style contract. In the second part, we present a BSDE approach, which is used to establish more explicit pricing, hedging and exercising results when solutions to reflected BSDEs have additional desirable properties.

연구 동기 및 목표

• 선형 시장 모델을 초월하여 일반적인 비선형 시장으로 미국식 복권의 단일 측면 가격 설정 및 헤지 프레임워크를 확장하기 위해.
• 비선형 가격 측정 기준 하에서 발행자와 소지자 모두에 대한 공정하고 수용 가능한 가격을 특성화하기 위해.
• 소지자의 합리적 행사 시간이 발행자의 손익이 상쇄되는 시간과 일치하는 조건을 설정하기 위해.
• 드라이버와 필터레이션에 대한 일반적인 가정 하에서 반사 BSDEs를 사용하여 명시적인 가격 설정 및 헤지 결과를 제공하기 위해.
• 최적 정지 및 비선형 기대의 이전 결과를 비대칭 행사 권리가 있는 미국식 복권 설정으로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 완전하지 않고 비선형적인 시장에서의 동적 가격 설정 및 헤지 모델링을 위해 BSDEs에서 유도된 비선형 기대 연산자 $\mathcal{E}^{g,h}$ 를 사용한다.
• 발행자 포트폴리오의 가치 과정과 소지자의 수익 과정을 모델링하기 위해 단일 반사 장벽을 가진 반사 BSDEs를 적용한다.
• 모든 정지 시간에 걸쳐 가치 평가의 유일성과 일관성을 보장하기 위해 비선형 기대 $\mathcal{E}^{g,h}$ 에 엄격한 비교 성질을 도입한다.
• 소지자의 계속 가치가 즉시 수익과 동일한 정지 시간 $\tau$ 로서 합리적 행사 시간을 정의하며, 이는 과정 $x_t = V_t(x_2 - \hat{p}^{r,h}, \psi)$ 를 사용한다.
• 발행자에 대한 손익이 상쇄되는 시간의 개념을 도입하며, 이는 BSDE 해에서의 등식을 통해 합리적 행사 시간과 연결된다.
• 스코로호드 유형의 반사 조건과 국소 시간 과정 $k_t$ 의 연속성을 활용하여 최후의 합리적 행사 시간 $\bar{\tau}^h$ 를 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 시장에서 미국식 복권의 소지자에 대한 합리적 행사 시간이 발행자의 손익이 상쇄되는 시간과 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 일반적인 비선형 시장 모델에서 양측에 대해 단일 측면 가격 설정 및 헤지가 어떻게 일관되게 정의될 수 있는가?
• RQ3 비선형 기대 $\mathcal{E}^{g,h}$ 의 엄격한 비교 성질이 가격 설정 및 행사 전략의 유일성과 일관성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 반사 BSDEs의 해의 성질이 비선형 설정에서 최적 정지 시간의 특성화에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 드라이버의 구조와 국소 시간 과정 $k_t$ 를 사용하여 최소 및 최대 합리적 행사 시간을 명시적으로 식별할 수 있는가?

주요 결과

• 최소 합리적 행사 시간 $\tau^h$ 는 소지자의 계속 가치가 즉시 수익과 동일한 첫 번째 시간 $t$ 로서 특성화되며, 즉 $y_t = x_t$ 이고 $y_t = \mathcal{E}^{g,h}_{t,T}(x_T)$ 이다.
• 최대 합리적 행사 시간 $\bar{\tau}^h$ 는 존재하며, 국소 시간 과정 $k_t$ 가 연속일 경우 $k_{\bar{\tau}^h} = 0$ 과 $y_{\bar{\tau}^h} = x_{\bar{\tau}^h}$ 를 만족한다.
• 발행자의 합리적 가격 $\hat{p}^{r,h}$ 가 판매자의 가격 $\hat{p}^{s,h}$ 와 동일할 경우, 임의의 합리적 행사 시간 $\tau$ 에서 $V_\tau(x_2 - \hat{p}^{r,h}, \psi) = x\_\tau$ 가 성립하며, 이는 합리적 행사 시간이 동시에 손익이 상쇄되는 시간임을 의미한다.
• 과정 $y_t = \mathcal{E}^{g,h}_{t,T}(x_T)$ 는 임의의 합리적 행사 시간 $\tau^\prime$ 에 대해 $[0, \tau^\prime]$ 에서 $\mathcal{E}^{g,h}$-마팅글레임이며, 이는 $k_{\tau^\prime} = 0$ 을 의미한다.
• 만약 $\tau^\prime$ 가 합리적 행사 시간이라면, $\mathcal{E}^{g,h}_{0,\tau^\prime}(x_{\tau^\prime}) = \mathcal{E}^{g,h}_{0,\tau^\prime}(y_{\tau^\prime}) = y_0$ 이며, 엄격한 비교 성질에 의해 $y_{\tau^\prime} = x_{\tau^\prime}$ 가 성립한다.
• 국소 시간 과정 $k_t$ 의 연속성은 $\bar{\tau}^h$ 가 합리적 행사 시간임을 보장하는 데 필수적이다; 이와 반대로, $k_{\bar{\tau}^h} \neq 0$ 가 될 경우 $\bar{\tau}^h$ 가 합리적 행사 시간이 아닐 수 있다.