[논문 리뷰] Arithmetic properties of signed Selmer groups at non-ordinary primes

Jeffrey Hatley, Antonio Lei|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 31.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Greenberg-Vatsal과 Kim의 Iwasawa 불변량에 관한 결과를 $p$-비일반 소수에서 비일반 모듈라 형식으로 확장하며, $\mathbb{Z}_p$-순환 확장 위에서 Wach 모듈을 통해 정의된 부호가 부여된 Selmer 군을 사용한다. 동치인 모듈라 형식은 그 부호가 부여된 Selmer 군에서 $\mu$- 및 $\lambda$-불변량이 관련되어 있음을 증명하고, 해석적 차수의 짝수 성질에 대한 일반화된 관계를 확립한다. 이는 초월적 및 일반적인 경우를 일반화한다.

ABSTRACT

We extend many results on Selmer groups for elliptic curves and modular forms to the non-ordinary setting. More precisely, we study the signed Selmer groups defined using the machinery of Wach modules over $\mathbf{Z}_p$-cyclotomic extensions. First, we provide a definition of residual and non-primitive Selmer groups at non-ordinary primes. This allows us to extend techniques developed by Greenberg (for $p$-ordinary elliptic curves) and Kim ($p$-supersingular elliptic curves) to show that if two $p$-non-ordinary modular forms are congruent to each other, then the Iwasawa invariants of their signed Selmer groups are related in an explicit manner. Our results have several applications. First of all, this allows us to relate the parity of the analytic ranks of such modular forms generalizing a recent result of the first-named author for $p$-supersingular elliptic curves. Second, we can prove a Kida-type formula for the signed Selmer groups generalizing results of Pollack and Weston.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 경우에서 비일반 모듈라 형식으로 Greenberg-Vatsal 및 Kim의 Selmer 군 Iwasawa 불변량 결과를 일반화하기 위해.
• Wach 모듈 이론을 사용하여 비일반 소수에서 잔여 및 비준비 부호가 부여된 Selmer 군을 정의하기 위해.
• 동치인 모듈라 형식이 그 부호가 부여된 Selmer 군에서 관련된 $\mu$- 및 $\lambda$-불변량을 가짐을 확립하기 위해.
• 유한한 $p$-확장 위에서 부호가 부여된 Selmer 군에 대한 Kida 유형의 공식을 증명하기 위해.
• 명시적인 유한한 소수 집합을 통해 동치인 모듈라 형식의 해석적 차수를 모듈로 2로 연결하기 위해.

제안 방법

• 비일반 모듈라 형식에 대해 $\mathbb{Z}_p$-순환 확장 위에서 Wach 모듈을 사용하여 부호가 부여된 Selmer 군 $\mathrm{Sel}_i(f/K_\infty)$를 정의한다.
• Greenberg-Vatsal의 보조군 기법을 비일반 설정으로 적용하기 위해 비준비 및 잔여 부호가 부여된 Selmer 군을 도입한다.
• Iwasawa 불변량을 분석하기 위해 $\Lambda$-모듈 및 $\Lambda$-코터전 성질 이론을 사용한다.
• 동치 조건 및 $\Sigma_0$ 내 소수에서의 국소 조건을 적용하여 동치 형식의 불변량을 관련시킨다.
• Selmer 군을 유한한 $p$-확장으로 확장하고 $\lambda$-불변량을 비교함으로써 Kida 유형의 공식을 확립한다.
• LMFDB 및 Sturm의 경계를 통한 계산적 검증을 통해 해석적 차수의 짝수 성질 추측을 테스트한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 비일반 모듈라 형식이 $p$를 모듈로로 동치일 경우, 그들의 $\mu$-불변량은 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 동치인 형식에 대해 비준비 부호가 부여된 Selmer 군의 $\lambda$-불변량은 어떻게 관련될 수 있는가?
• RQ3 동치인 비일반 모듈라 형식의 해석적 차수를 연결하는 짝수 조건이 존재하는가?
• RQ4 유한한 $p$-확장 위에서 부호가 부여된 Selmer 군에 대해 Kida 유형의 공식이 성립하는가?
• RQ5 해석적 차수의 짝수 관계에서 유한한 집합 $\mathcal{S}_f$의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 부호가 부여된 Selmer 군 $\mathrm{Sel}_i(f/K_\infty)$는 유한 지수의 적절한 $\Lambda$-부분군을 가지지 않는다.
• 동치인 모듈라 형식 $f$ 및 $g$에 대해, $\mathrm{Sel}_i(f/K_\infty)$의 $\mu$-불변량이 0이 되는 것은 $\mathrm{Sel}_i(g/K_\infty)$의 $\mu$-불변량이 0이 되는 것과 동치이다.
• 만약 $\mu$-불변량이 0이라면, 비준비 부호가 부여된 Selmer 군 $\mathrm{Sel}_i^{\Sigma_0}(f/K_\infty)$ 및 $\mathrm{Sel}_i^{\Sigma_0}(g/K_\infty)$의 $\lambda$-불변량은 일치한다.
• $\mathrm{Sel}_i(f/\mathbb{Q})$의 코랭크와 유한 집합 $\mathcal{S}_f$의 크기의 합은 $\mathrm{Sel}_i(g/\mathbb{Q})$의 코랭크와 $|\mathcal{S}_g|$의 합과 같은 짝수 성질을 가진다.
• 비둘기형이 자명한 모듈라 형식의 경우, $r_{\mathrm{an}}(f) + |\mathcal{S}_f| \equiv r_{\mathrm{an}}(g) + |\mathcal{S}_g| \pmod{2}$이 성립하며, 이는 $f$와 $g$에 대해 동일한 짝수 성질을 가진다.
• 유한한 갈루아 $p$-확장 위에서 부호가 부여된 Selmer 군의 $\lambda$-불변량에 대해 Kida 유형의 공식이 성립하며, 이는 Pollack-Weston의 결과를 일반화한다.