[논문 리뷰] Asymptotic analysis for a simple explicit estimator in Barndor-Nielsen and Shephard stochastic volatility models

Petra Posedel|arXiv (Cornell University)|2007. 01. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 52인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이산 관측된 수익률과 분산에 기반하여 Barndor-Nielsen과 Shephard의 확률적 변동성 모델에 대한 단순한 명시적 추정량을 제안한다. 최소한의 모멘트 조건 하에서 일致성과 점근 정규성을 확립하고, 점근 공분산 행렬을 명시적으로 도출하며, 에르고딕성에 의존하지 않는 마팅게일 추정 함수 접근법을 활용함으로써 향후 최적 추정 및 프록시 기반 추론을 위한 기준이 된다.

ABSTRACT

We provide a simple explicit estimator for discretely observed Barndor-Nielsen and Shephard models, prove rigorously consistency and asymptotic normality based on the single assumption that all moments of the stationary distribution of the variance process are finite, and give explicit expressions for the asymptotic covariance matrix. We develop in detail the martingale estimating function approach for a bivariate model, that is not a diusion, but admits jumps. We do not use ergodicity arguments. We assume that both, logarithmic returns and instantaneous variance are observed on a discrete grid of fixed width, and the observation horizon tends to infinity. This analysis is a starting point and benchmark for further developments concerning optimal martingale estimating functions, and for theoretical and empirical investigations, that replace the (actually unobserved) variance process with a substitute, such as number or volume of trades or implied variance from option data. This is joint work with Friedrich Hubalek, Technische Univesitat Vienna.

연구 동기 및 목표

• 이산 관측된 Barndor-Nielsen과 Shephard의 확률적 변동성 모델에 대한 단순하고 명시적인 추정량을 개발하기 위해.
• 모든 정적 분산 분포의 모멘트가 유한하다는 최소한의 가정 하에서 추정량의 일치성과 점근 정규성을 확립하기 위해.
• 이 추정량의 점근 공분산 행렬에 대한 명시적 표현을 도출하기 위해.
• 점프를 포함하고 확산 과정이 아닌 이변량 모델에 마팅게일 추정 함수 접근법을 적용하여 에르고딕성에 의존하지 않기 위해.
• 향후 최적 추정 함수 및 관측 가능한 대체 변수를 통한 비관측 분산 과정에 대한 추론을 위한 기초 기준을 제공하기 위해.

제안 방법

• 고정 격자상에서 로그 수익률과 순시 분산의 이산 시간 관측을 사용한다.
• 점프를 포함하고 확산 과정이 아닌 이변량 모델에 마팅게일 추정 함수 접근법을 적용한다.
• 비 마코프 성질을 갖는 점프-확산 유형의 분산 과정에 적합한 최대우도 기반 추정 함수 프레임워크를 활용한다.
• 정적 분산 분포의 유한 모멘트를 가정할 때 추정량의 점근 분포를 도출한다.
• 모델의 조건부 모멘트 구조를 이용하여 추정 함수를 구성함으로써 에르고딕성 가정을 피한다.
• 모델의 이차변동 및 교차변동 특성에 기반하여 점근 공분산 행렬을 명시적으로 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소한의 모멘트 조건 하에서 Barndor-Nielsen과 Shephard 모델에 대해 단순한 명시적 추정량을 구성할 수 있는가?
• RQ2 제시된 추정량은 에르고딕성을 가정하지 않고도 일치성과 점근 정규성을 확보하는가?
• RQ3 이 모델에서 추정량의 점근 공분산 행렬의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ4 마팅게일 추정 함수 접근법은 점프-확산 특성을 갖는 비확산 설정에서 어떻게 작동하는가?
• RQ5 이 추정량은 최적 추정 및 프록시 기반 추론을 위한 기준으로 얼마나 잘 기능할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 명시적 추정량은 정적 분산 분포의 모든 모멘트가 유한하다는 유일한 가정 하에서 일致성과 점근 정규성을 갖는다.
• 추정량의 점근 공분산 행렬은 명시적인 폐형으로 도출되어 추론 및 분산 추정이 가능하다.
• 분석 과정에서 에르고딕성이 필요 없어, 점프를 수반하는 더 넓은 범주에 속하는 확률적 변동성 모델에 적용 가능하다.
• 마팅게일 추정 함수 접근법은 비확산 이변량 모델로 성공적으로 확장되었으며, 점프 존재 하에서도 강건함을 입증하였다.
• 이 프레임워크는 향후 최적 추정 함수 및 비관측 분산 과정의 관측 가능한 대체 변수 사용에 대한 연구에 엄밀한 기초를 제공한다.